Mở đầu: Giả sử độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật được biểu thị bởi M = x + 3y + 2 và N = x + y. Khi đó, diện tích của hình chữ nhật được biểu thị bởi
MN = (x + 3y + 2)(x + y).
Trong tình huống này, ta phải nhân hai đa thức M và N. Phép nhân đó được thực hiện như thế nào và kết quả có phải là một đa thức hay không?
Lời giải:
Ta thực hiện phép nhân đa thức M và N, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức M với từng hạng tử của đa thức N rồi cộng các kết quả với nhau.
Ta thực hiện như sau:
MN = (x + 3y + 2)(x + y)
= x . x + 3y . x + 2 . x + x . y + 3y . y + 2 . y
= x2 + 3xy + 2x + xy + 3y2 + 2y
= x2 + 4xy + 2x + 3y2 + 2y.
Kết quả của phép nhân hai đa thức M và N là một đa thức.
1. Nhân đơn thức với đa thức
Luyện tập 1: Nhân hai đơn thức:
a) 3x2 và 2x3;
b) –xy và 4z3;
c) 6xy3 và –0,5x2.
Lời giải:
Hoạt động 1: Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân (5x2) . (3x2 – x – 4).
Lời giải:
Ta có (5x2) . (3x2 – x – 4) = 5x2 . 3x2 – 5x2 . x – 5x2 . 4
= 15x4 – 5x3 – 20x2.
Hoạt động 2: Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân (5x2y) . (3x2y – xy – 4y).
Lời giải:
Luyện tập 2: Làm tính nhân:
a) (xy) . (x2 + xy – y2);
b) (xy + yz + zx) . (–xyz).
Lời giải:
Vận dụng: Rút gọn biểu thức: x3(x + y) – x(x3 + y3).
Lời giải:
Ta có x3(x + y) – x(x3 + y3) = x3 . x + x3 . y – x . x3 – x . y3
= x4 + x3y – x4 – xy3 = x3y – xy3.
2. Nhân đa thức với đa thức
Hoạt động 3: Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân:
(2x + 3) . (x2 – 5x + 4).
Lời giải:
(2x+3)×(x2−5x+4)=2x3−10x2+8x+3x2−15x+12=2x3−7x2−7x+12
Hoạt động 4: Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân (2x + 3y) . (x2 – 5xy + 4y2).
Lời giải:
Ta có (2x + 3y) . (x2 – 5xy + 4y2)
= 2x . x2 – 2x . 5xy + 2x . 4y2 + 3y . x2 – 3y . 5xy + 3y . 4y2
= 2x3 – 10x2y + 8xy2 + 3x2y – 15xy2 + 12y3
= 2x3 + 12y3 + (3x2y – 10x2y) + (8xy2 – 15xy2)
= 2x3 + 12y3 – 7x2y – 7xy2.
Luyện tập 3: Thực hiện phép nhân:
a) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2);
b) (x2y2 – 3)(3 + x2y2).
Lời giải:
Thử thách nhỏ: Xét biểu thức đại số với hai biến k và m sau:
P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3).
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.
Lời giải:
a) P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3)
= (6km – 9m – 4k + 6) – (6km – 4m – 9k + 6)
= 6km – 9m – 4k + 6 – 6km + 4m + 9k – 6
= (6km – 6km) + (4m – 9m) + (9k – 4k) + (6 – 6) = 5k – 5m.
b) Ta thấy P = 5k – 5m = 5(k – m)
Vì 5 ⋮ 5 nên 5(k – m) ⋮ 5
Do đó, tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.
Bài tập
Bài 1.24: Nhân hai đơn thức:
a) 5x2y và 2xy2;
b) và 8x3y2;
c) 1,5xy2z3 và 2x3y2z.
Lời giải:
a)
b)
c)
Bài 1.25: Tìm tích của đơn thức với đa thức:
a) (−0,5)xy2 (2xy – x2 + 4y);
b)
Lời giải:
Bài 1.26: Rút gọn biểu thức: x(x2 – y) – x2(x + y) + xy(x – 1).
Lời giải:
Ta có x(x2 – y) – x2(x + y) + xy(x – 1)
= x . x2 – x . y – x2 . x – x2 . y + xy . x – xy . 1
= x3 – xy – x3 – x2y + x2y – xy
= (x3 – x3) + (x2y – x2y) – (xy + xy) = –2xy.
Bài 1.27: Làm tính nhân:
a) (x2 – xy + 1)(xy + 3);
b)
Lời giải:
a)
b)
Bài 1.28: Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của biến: (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7.
Lời giải:
Bài 1.29: Chứng minh đẳng thức sau: (2x + y)(2x2 + xy – y2) = (2x – y)(2x2 + 3xy + y2).
Lời giải:
Ta có:
• (2x + y)(2x2 + xy – y2)
= 2x . 2x2 + 2x . xy – 2x . y2 + y . 2x2 + y . xy – y . y2
= 4x3 + 2x2y – 2xy2 + 2x2y + xy2 – y3
= 4x3 + (2x2y + 2x2y) + (xy2 – 2xy2) – y3
= 4x3 + 4x2y – xy2 – y3.
• (2x – y)(2x2 + 3xy + y2)
= 2x . 2x2 + 2x . 3xy + 2x . y2 – y . 2x2 – y . 3xy – y . y2
= 4x3 + 6x2y + 2xy2 – 2x2y – 3xy2 – y3
= 4x3 + (6x2y – 2x2y) + (2xy2 – 3xy2) – y3
= 4x3 + 4x2y – xy2 – y3.
Do đó (2x + y)(2x2 + xy – y2) = (2x – y)(2x2 + 3xy + y2) = 4x3 + 4x2y – xy2 – y3.
Vậy (2x + y)(2x2 + xy – y2) = (2x – y)(2x2 + 3xy + y2).