Giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 4 (trang 89)

A. Trắc nghiệm

Bài 4.18: Độ dài x trong Hình 4.31 bằng

A. 2,75

B. 2.

C. 2,25.

D. 3,75.

Đáp án: C

Giải thích:

Bài 4.19: Cho tam giác ABC. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC, BC. Biết HK = 3,5 cm. Độ dài AB bằng

A. 3,5 cm.

B. 7 cm.

C. 10 cm.

D. 15 cm.

Đáp án: B

Giải thích:

Vì H, K lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HK là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $HK=\frac{1}{2}AB$.

Do đó AB = 2HK = 2 . 3,5 = 7 (cm).

Vậy AB = 7 cm.

Bài 4.20: Cho tam giác ABC có chu vi là 32 cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Chu vi của tam giác MNP là

A. 8 cm.

B. 64 cm.

C. 30 cm.

D. 16 cm.

Đáp án: D

Giải thích:

• Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $MN=\frac{1}{2}BC$.

• Vì N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $NP=\frac{1}{2}AB$.

• Vì M, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC suy ra $MP=\frac{1}{2}AC$.

Chu vi tam giác ABC bằng: AB + BC + CA = 32 (cm).

Chu vi tam giác MNP bằng:

$MN+NP+MP=\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC$

$=\frac{1}{2}(AB+BC+CA)=\frac{1}{2}.32=16$ (cm)

Vậy chu vi tam giác MNP bằng 16 cm.

Bài 4.21: Cho tam giác ABC có AB = 9 cm, D là điểm thuộc cạnh AB sao cho AD = 6 cm. Kẻ DE song song với BC (E thuộc AC), kẻ EF song song với CD (F thuộc AB). Độ dài AF bằng

A. 4 cm.

B. 5 cm.

C. 6 cm.

D. 7 cm.

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng định lí Thalès:

• Với DE // BC (E ∈ AC) ta có: $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{9}{12}=\frac{2}{3}$;

• Với EF // CD (F ∈ AB) ta có: $\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$.

Suy ra $AF=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}.6=4$ (cm).

Vậy AF = 4 cm.

Bài 4.22: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 15 cm, BC = 10 cm, đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D. Khi đó, đoạn thẳng AD có độ dài là

A. 3 cm.

B. 6 cm.

C. 9 cm.

D. 12 cm.

Đáp án: C

Giải thích:

B. Tự luận

Bài 4.23: Cho góc xOy. Trên tia Ox, lấy hai điểm A và B sao cho OA = 2 cm, OB = 5 cm. Trên tia Oy, lấy điểm C sao cho OC = 3 cm. Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Lời giải:

Vì AC // BD, theo định lí Thales ta có:

OCCD=OAAB hay 3CD=23⇒CD=3×32=4,5 (cm)

Bài 4.24: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

a) Chứng minh rằng AE = DF.

b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Lời giải:

a) Theo đề bài, tam giác ABC vuông tại A nên$BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC=90°$ hay AB ⊥ AC.

Vì D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra DE // AC.

Mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ DE hay ${\mathrm{ADE^\backslash widehat\{ADE\}ADE}}^{}=90°$.

Tương tự, ta chứng minh được: EF ⊥ AC hay ${\mathrm{AFE^\backslash widehat\{AFE\}AFE}}^{}=90°$.

Ta có: $BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC+{\mathrm{ADE^\backslash widehat\{ADE\}ADE}}^{}+{\mathrm{AFE^\backslash widehat\{AFE\}AFE}}^{}+{\mathrm{DEF^\backslash widehat\{DEF\}DEF}}^{}=360°$

$90°+90°+90°+{\mathrm{DEF^\backslash widehat\{DEF\}DEF}}^{}=360°$

$270°+{\mathrm{DEF^\backslash widehat\{DEF\}DEF}}^{}=360°$

Suy ra ${\mathrm{DEF^\backslash widehat\{DEF\}DEF}}^{}=360°-270°=90°$.

Tứ giác ADEF có ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}=90°;{\mathrm{ADE^\backslash widehat\{ADE\}ADE}}^{}=90°;{\mathrm{AFE^\backslash widehat\{AFE\}AFE}}^{}=90°;{\mathrm{DEF^\backslash widehat\{DEF\}DEF}}^{}=90°$ .

Do đó tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

Suy ra hai đường chéo AE và DF bằng nhau.

Vậy AE = DF (đpcm).

b) Vì D, F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DF là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DF // BC hay DF // BE.

Vì tứ giác ADEF là hình chữ nhật nên AD // EF hay BD // EF.

Tứ giác BDFE có DF // BE và BD // EF nên tứ giác BDFE là hình bình hành.

Hình bình hành BDFE có hai đường chéo BF và DE.

Mà I là trung điểm của DE nên I cũng là trung điểm của BF.

Do đó, ba điểm B, I, F thẳng hàng.

Bài 4.25: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh tứ giác EDKI là hình bình hành.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có: E, D lần lượt là trung điểm AB và AC  suy ra ED là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ED//BC,ED=12BC (1)

Xét tam giác GBC có: I, K lần lượt là trung điểm AB và AC  suy ra IK là đường trung bình của tam giác GBC

⇒IK//BC,IK=12BC (2)

Từ (1) (2) suy ra ED// IK, ED = IK ⇒ EDKI là hình bình hành

Bài 4.26: Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Kẻ IM song song với BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB). Chứng minh MN song song với BC.

Lời giải:

Áp dụng định lí Thalès:

• Vì IM // BK nên $\frac{AI}{AB}=\frac{AM}{AK}$  suy ra AB.AM = AI.AK          (1)

• Vì KN // IC nên $\frac{AN}{AI}=\frac{AK}{AC}$  suy ra AN.AC = AI.AK           (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB.AM = AN.AC = AI.AK        

Do đó $\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$  (theo tính chất tỉ lệ thức).

Suy ra MN // BC (theo định lí Thalès đảo).

Bài 4.27: Bác Mến muốn tính khoảng cách giữa hai vị trí P, Q ở hai bên bờ ao cá. Để làm điều đó, bác Mến chọn ba vị trí A, B, C, thực hiện đo đạc và vẽ mô phỏng như Hình 4.32. Em hãy giúp bác Mến tính khoảng cách giữa hai điểm P và Q.

Lời giải:

Ta có: AP = PB suy ra P là trung điểm AB

AQ = QC suy ra Q là trung điểm AC

Do đó PQ là đường trung bình tam giác ABC ⇒PQ=12BC=12×400=200(m)