Giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

Mở đầu: Tròn nói: Tớ viết được đa thức x6 + y6 dưới dạng tích đấy!

Vuông thắc mắc: Tròn làm thế nào nhỉ?

Lời giải:

Tròn đã áp dụng công thức tổng của hai lập phương để đưa về dạng tích như sau:

$x^6+y^6={\left(x^2\right)}^3+{\left(y^2\right)}^3$

= (x2+y2)[(x2)2 - x2.y2 + (y2)2 ]

= (x2+y2)(x4-x2y2+y4).

1. Tổng hai lập phương

Hoạt động 1: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a2 – ab + b2). Từ đó rút ra liên hệ giữa a3 + b3 và (a + b)(a2 – ab + b2).

Lời giải:

Luyện tập 1:

1. Viết x3 + 27 dưới dạng tích.

2. Rút gọn biểu thức x3 + 8y3 – (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2).

Lời giải:

1. Ta có x3 + 27 = x3 + 33 = (x + 3)(x2 – 3x + 32) = (x + 3)(x2 – 3x + 9).

Vậy x3 + 27 = (x + 3)(x2 – 3x + 9).

2. Ta có x3 + 8y3 – (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)

= x3 + 8y3 – [x3 + (2y)3]

= x3 + 8y3 – (x3 + 8y3)

= x3 + 8y3 – x3 – 8y3 = 0.

2. Hiệu hai lập phương

Hoạt động 2: Với hai số bất kì, viết a3 – b3 = a3 + (–b)3 và sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương để tính a3 + (–b)3. Từ đó rút ra liên hệ giữa a3 – b3 và (a – b)(a2 + ab + b2).

Lời giải:

a3+(−b)3=[a+(−b)][a2−a(−b)+(−b)2]=(a−b)(a2+ab+b2)

Từ đó rút ra a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

Luyện tập 2:

1. Viết đa thức x3 – 8 dưới dạng tích.

2. Rút gọn biểu thức (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) + 8y3.

Lời giải:

1. Ta có x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2)(x2 + 2x + 22) = (x – 2)(x2 + 2x + 4).

Vậy x3 – 8 = (x – 2)(x2 + 2x + 4).

2. Ta có (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) + 8y3

= (3x – 2y)[(3x)2 + 3x . 2y + (2y)2] + 8y3

= (3x)3 – (2y)3 + 8y3

= 27x3 – 8y3 + 8y3 = 27x3.

Vậy (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) + 8y3 = 27x3.

Vận dụng: Giải quyết tình huống mở đầu.

Lời giải:

Tròn đã áp dụng công thức tổng của hai lập phương để đưa về dạng tích như sau:

$x^6+y^6={\left(x^2\right)}^3+{\left(y^2\right)}^3$

= (x2+y2)[(x2)2 - x2.y2 + (y2)2 ]

= (x2 + y2)(x4-x2y2+y4).

Bài tập

Bài 2.12: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu hai lập phương:

a) (x + 4)(x2 – 4x + 16);

b) (4x2 + 2xy + y2)(2x – y).

Lời giải:

a) (x+4)(x2−4x+16)=x3+43

b) (4x2+2xy+y2)(2x−y)=8x3−y3

Bài 2.13: Thay  bằng biểu thức thích hợp.

a) x3 + 512 = (x+8)(x2 -  + 64);

b) 27x3 - 8y3 = ( - 2y)( + 6xy + 4y2).

Lời giải:

Bài 2.14: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) 27x3 + y3;

b) x3 – 8y3.

Lời giải:

a) 27x3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)[(3x)2 – 3x . y + y2]

= (3x + y)(9x2 – 3xy + y2).

b) x3 – 8y3 = x3 – (2y)3

= (x – 2y)[x2 + x . 2y + (2y)2]

= (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2).

Bài 2.15: Rút gọn biểu thức sau:

(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) + (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2).

Lời giải:

(x−2y)(x2+2xy+4y2)+(x+2y)(x2−2xy+4y2)=x3−8y3+x3+8y3=2x3