Mở đầu: Trong một trò chơi trí tuệ trên truyền hình dành cho học sinh, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả phép tính 198 . 202. Ngay lập tức một bạn đã chỉ ra kết quả đúng. Bạn ấy tính như thế nào mà nhanh thế nhỉ?
Lời giải:
Để tính nhanh kết quả phép tính 198 . 202, ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:
198 . 202 = (200 – 2)(200 + 2) = 2002 – 22 = 40 000 – 4 = 39 996.
1. Hằng đẳng thức
Luyện tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?
a) a(a + 2b) = a2 + 2ab;
b) a + 1 = 3a – 1.
Lời giải:
a)
b) a + 1 = 3a - 1 không phải hằng đẳng thức (vì khi thay a = 0 thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau)
2. Hiệu hai bình phương
Hoạt động 1: Quan sát Hình 2.1.
a) Tính diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1a.
b) Tính diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1.b.
c) Có nhận xét gì về diện tích của hai hình ở câu a và câu b?
Lời giải:
Hoạt động 2: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a – b).
Từ đó rút ra liên hệ giữa a2 – b2 và (a + b)(a – b).
Lời giải:
Ta có (a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2.
Do đó a2 – b2 = (a + b)(a – b).
Luyện tập 2:
a) Tính nhanh 992 – 1;
b) Viết x2 – 9 dưới dạng tích.
Lời giải:
a)
b)
Vận dụng 1: Ở bài toán mở đầu, em hãy giải thích xem bạn đó tính nhanh như thế nào.
Trong một trò chơi trí tuệ trên truyền hình dành cho học sinh, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả phép tính 198 . 202. Ngay lập tức một bạn đã chỉ ra kết quả đúng. Bạn ấy tính như thế nào mà nhanh thế nhỉ?
Lời giải:
Để tính nhanh kết quả phép tính 198 . 202, ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:
198 . 202 = (200 – 2)(200 + 2) = 2002 – 22 = 40 000 – 4 = 39 996.
3. Bình phương của một tổng
Hoạt động 3: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b). Từ đó rút ra liên hệ giữa (a + b)2 và a2 + 2ab + b2.
Lời giải:
Luyện tập 3:
1. Khai triển (2b + 1)2.
2. Viết biểu thức 9y2 + 6yx + x2 dưới dạng bình phương của một tổng.
Lời giải:
1. Ta có (2b + 1)2 = (2b)2 + 2 . 2b . 1 + 12 = 4b2 + 4b + 1.
2. Ta có 9y2 + 6yx + x2 = (3y)2 + 2 . 3y . x + x2 = (3y + x)2.
Vậy 9y2 + 6yx + x2 = (3y + x)
4. Bình phương của một hiệu
Hoạt động 4: Với hai số a, b bất kì, viết a – b = a + (–b) và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính (a – b)2.
Lời giải:
(a−b)2=(a+(−b))2=a2+2a(−b)+(−b)2=a2−2ab+b2
Luyện tập 4: Khai triển (3x – 2y)2.
Lời giải:
Vận dụng 2: Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8”, người hướng dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính 1 0022. Chỉ vài giây sau, Nam đã tính kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.
Lời giải:
Để tính nhanh kết quả của phép tính 1 0022, có thể Nam đã tính như sau:
Sử dụng công thức bình phương của một tổng, ta thực hiện:
1 0022 = (1 000 + 2)2 = 1 0002 + 2 . 1 000 . 2 + 22
= 1 000 000 + 4 000 + 4 = 1 004 004.
Bài tập
Bài 2.1: Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
a) x + 2 = 3x + 1;
b) 2x(x + 1) = 2x2 + 2x;
c) (a + b)a = a2 + ba;
d) a – 2 = 2a + 1.
Lời giải:
b) và c) là hằng đẳng thức
Bài 2.2: Thay 
bằng biểu thức thích hợp.
a) (x-3y)(x+3y) = x2 - ;
b) (2x-y)(2x+y) = 4 - y2;
c) x2 + 8xy + = ( + 4y)2;
d) - 12xy + 9y2 = (2x - )2.
Lời giải:
Bài 2.3: Tính nhanh:
a) 54 . 66;
b) 2032.
Lời giải:
a) 54 . 66 = (60 – 6)(60 + 6) = 602 – 62
= 3 600 – 36 = 3564;
b) 2032 = (200 + 3)2 = 2002 + 2 . 200 . 3 + 32
= 40 000 + 1 200 + 9 = 41 209.
Bài 2.4: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) x2 + 4x + 4;
b) 16a2 – 16ab + 4b2.
Lời giải:
a)
b)
Bài 2.5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x – 3y)2 – (x + 3y)2;
b) (3x + 4y)2 + (4x – 3y)2.
Lời giải:
Bài 2.6: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có:
(n + 2)2 – n2 chia hết cho 4.
Lời giải:
Ta có (n + 2)2 – n2 = (n + 2 – n)(n + 2 + n) = 2(2n + 2) = 4n + 4 = 4(n + 1)
Vì n là số tự nhiên nên n + 1 cũng là số tự nhiên
Và 4 ⋮ 4 nên 4(n + 1) ⋮ 4.
Vậy với mọi số tự nhiên n, ta có (n + 2)2 – n2 chia hết cho 4.