Giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Mở đầu: Chúng mình đã biết công thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, còn công thức tính (a + b)3 thì sao nhỉ?

Lời giải:

Ta đưa (a + b)3 về phép nhân đa thức:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2.

1. Lập phương của một tổng

Hoạt động 1: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b)2. Từ đó rút ra liên hệ giữa (a + b)3 và a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Lời giải:

(a+b)×(a+b)2=(a+b)(a2+2ab+b2)

=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3

=a3+3a2b+3ab2+b3

Luyện tập 1:

1. Khai triển

a) (x + 3)3;

b) (x + 2y)3.

2. Rút gọn biểu thức (2x + y)3 – 8x3 – y3.

Lời giải:

1.

a) (x + 3)3 = x3 + 3 . x2 . 3 + 3 . x . 32 + 33 = x3 + 9x2 + 27x + 27;

b) (x + 2y)3 = x3 + 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 + (2y)3

= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3.

2.

(2x + y)3 – 8x3 – y3

= (2x)3 + 3 . (2x)2 . y + 3 . 2x . y2 + y3 – 8x3 – y3

= 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 – 8x3 – y3

= (8x3 – 8x3) + 12x2y + 6xy2 + (y3 – y3)

= 12x2y + 6xy2.

Luyện tập 2: Viết biểu thức x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3 dưới dạng lập phương của một tổng.

Lời giải:

2. Lập phương của một hiệu

Hoạt động 2: Với hai số a, b bất kì, viết a – b = a + (–b) và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính (a – b)3.

Từ đó rút ra liên hệ giữa (a – b)3 và a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Lời giải:

(a – b)3 = [a + (–b)]3 = a3 + 3a2(−b) + 3a(−b)2 + (–b)3

= a3 − 3a2b + 3ab2 – b3.

Do đó (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Luyện tập 3: Khai triển (2x – y)3.

Lời giải:

(2x−y)3=(2x)3−3×(2x)2×y+3×2x×y2−y3=8x3−12x2y+6y2−y3

Luyện tập 4: Viết biểu thức dưới dạng lập phương của một hiệu

8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3.

Lời giải:

Vận dụng: Rút gọn biểu thức: (x – y)3 + (x + y)3.

Lời giải:

Ta có (x – y)3 + (x + y)3

= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 + x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

= (x3 + x3) + (3x2y – 3x2y) + (3xy2 + 3xy2) + (y3 – y3)

= 2x3 + 6xy2.

Bài tập

Bài 2.7: Khai triển:

a) ${\left(x^2+2y\right)}^3$ ;

b) ${\left(\frac{1}{2}x-1\right)}^3$ .

Lời giải:

a) (x2+2y)3=(x2)3−3×(x2)2×2y+3×x2×(2y)2+(2y)3

=x6+6x4y+12x2y2+8y3

b) (12x−1)3=(12x)3−3×(12x)2×1+3×12x×12−13

=18x3−34x2+32x−1

Bài 2.8: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu.

a) 27 + 54x + 36x2 + 8x3;

b) 64x3 – 144x2y + 108xy2 – 27y3.

Lời giải:

Bài 2.9: Tính nhanh giá trị của biểu thức:

a) x3 + 9x2 + 27x + 27 tại x = 7;

b) 27 – 54x + 36x2 – 8x3 tại x = 6,5.

Lời giải:

a) Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3 . x2 . 3 + 3 . x . 32 + 33 = (x + 3)3.

Thay x = 7 vào biểu thức (x + 3)3, ta được:

(7 + 3)3 = 103 = 1 000.

b) Ta có 27 – 54x + 36x2 – 8x3

= 33 – 3 . 32 . 2x + 3 . 3 . (2x)2 – (2x)3

= (3 – 2x)3.

Thay x = 6,5 vào biểu thức (3 – 2x)3, ta được:

(3 – 2 . 6,5)3 = (3 – 13)3 = (–10)3 = –1 000.

Bài 2.10: Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x – 2y)3 + (x + 2y)3;

b) (3x + 2y)3 + (3x – 2y)3.

Lời giải:

Bài 2.11: Chứng minh (a – b)3 = – (b – a)3.

Lời giải:

(a−b)3=(a−b)(a−b)(a−b)=[−(b−a)][−(b−a)][−(b−a)]=[−(b−a)]3=−(b−a)3