Giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức Luyện tập chung (trang 62, 63)

Bài 3.19: Trong các tứ giác ở Hình 3.39, tứ giác nào là hình bình hành? Vì sao?

Lời giải:

* Hình 3.39a)

Tứ giác ABCD có: $\hat{A}=\hat{C}$ ; $\hat{B}=\hat{D}$ .

Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

* Hình 3.39b)

Tứ giác ABCD có: $\hat{B}\ne \hat{D}$ (do 70o $\ne$ 75o).

Do đó, tứ giác ABCD không là hình bình hành.

* Hình 3.39c)

Đặt ${\mathrm{BCx^\backslash widehat\{BCx\}BCx}}^{}=80°$ (như hình vẽ).

Ta có: $\hat{D}={\mathrm{BCx^\backslash widehat\{BCx\}BCx}}^{}=80°$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BC.

Tứ giác ABCD có:

• AD // BC (chứng minh trên)

• AD = BC (giả thiết)

Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD trong Hình 3.39a) và 3.39c) là hình bình hành; tứ giác ABCD trong Hình 3.39b) không là hình bình hành.

Bài 3.20: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng:

a) AN = CM;

b) ${\mathrm{AMC^\backslash widehat\{AMC\}AMC}}^{}={\mathrm{AMC^\backslash widehat\{AMC\}ANC}}^{}$ .

Lời giải:

a) Ta có: AB//CD(hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)

mà M∈AB(gt)

và N∈CD(gt)

nên AM//CN

Xét tứ giác AMCN có AM//CN(cmt) và AM=CN(gt)

nên AMCN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒  AN=MC(hai cạnh đối trong hình bình hành AMCN)

b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành suy ra ${\mathrm{AMC^\backslash widehat\{AMC\}AMC}}^{}={\mathrm{AMC^\backslash widehat\{AMC\}ANC}}^{}$ (đpcm).

Bài 3.21: Vẽ tứ giác ABCD theo hướng dẫn sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB và đường thẳng a song song với AB.

Bước 2. Lấy điểm C ∈ a.

Bước 3. Trên a chọn D sao cho CD = AB và A, D nằm cùng phía đối với BC.

Hãy giải thích tại sao tứ giác ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

Ta thực hiện vẽ tứ giác ABCD theo các bước ở đề bài như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB và đường thẳng a song song với AB.

Bước 2. Lấy điểm C ∈ a.

Bước 3. Trên a chọn D sao cho CD = AB và A, D nằm cùng phía đối với BC.

Nối AD, BC ta có tứ giác ABCD là hình bình hành.

Tứ giác ABCD là hình bình hành do:

• AB // CD (vì AB // a; C, D ∈ a);

• AB = CD (giả thiết).

Bài 3.22: Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 cm, AD = 5 cm.

a) Hỏi tia phân giác của góc A cắt cạnh CD hay cạnh BC?

b) Tính khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C.

Lời giải:

Bài 3.23: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành;

b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFDlà hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFClà hình bình hành.

Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Bài 3.24: Cho ba điểm không thẳng hàng.

a) Tìm một điểm sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của một hình bình hành. Hãy vẽ hình và mô tả cách tìm.

b) Hỏi tìm được bao nhiêu điểm như vậy?

Lời giải:

a) Gọi 3 điểm cho trước là Q, E, R

- Nối Q với E, ta được đoạn thẳng QE

- Qua R kẻ đường thẳng t // QE

- Trên t lấy điểm Y sao cho YR=QE

- Nối 4 điểm Q, E, R, Y lại với nhau ta được 1 hình bình hành

b) Tìm được 2 điểm