Giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức

Mở đầu: Trong buổi sinh hoạt câu lạc bộ Toán học của lớp, hai bạn tính giá trị của hai đa thức P = 2x2y – xy2 + 22 và Q = xy2 – 2x2y + 23 tại những giá trị cho trước của x và y. Kết quả được ghi lại như bảng bên.

Ban giám khảo cho biết một cột chắc chắn có kết quả sai.

Theo em, làm thế nào để có thể nhanh chóng phát hiện cột đó?

Lời giải:

Ta có P + Q = (2x2y – xy2 + 22) + (xy2 – 2x2y + 23)

= 2x2y – xy2 + 22 + xy2 – 2x2y + 23

= (2x2y – 2x2y) + (xy2 – xy2) + 23 + 22 = 45.

Ta xét từng cột trong bảng trên, ta có:

• Cột thứ nhất: P + Q = 19 + 26 = 45;

• Cột thứ hai: P + Q = 25 + 20 = 45;

• Cột thứ ba: P + Q = 38 + 17 = 55;

• Cột thứ tư: P + Q = 22 + 23 = 45.

Vì tổng P + Q luôn bằng 45 nên cột thứ ba có kết quả sai.

1. Cộng và trừ hai đa thức

Hoạt động 1: Cho hai đa thức A = 5x2y + 5x – 3 và B = xy – 4x2y + 5x – 1.

Thực hiện phép cộng hai đa thức A và B bằng cách tiến hành các bước sau:

• Lập tổng A + B = (5x2y + 5x – 3) + (xy – 4x2y + 5x – 1).

• Bỏ dấu ngoặc và thu gọn đa thức nhận được.

Lời giải:

Hoạt động 2: Cho hai đa thức A = 5x2y + 5x – 3 và B = xy – 4x2y + 5x – 1.

Thực hiện phép trừ hai đa thức A và B bằng cách lập hiệu

A – B = (5x2y + 5x – 3) – (xy – 4x2y + 5x – 1), bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn đa thức nhận được.

Lời giải:

Ta có A – B = (5x2y + 5x – 3) – (xy – 4x2y + 5x – 1)

= 5x2y + 5x – 3 – xy + 4x2y – 5x + 1

= (5x2y + 4x2y) – xy + (5x – 5x) + (1 – 3)

= 9x2y – xy – 2.

Luyện tập 1: Cho hai đa thức G = x2y – 3xy – 3 và H = 3x2y + xy – 0,5x + 5

Hãy tính G + H và G – H.

Lời giải:

G+H=(x2y−3xy−3)+(3x2y+xy−0,5x+5)

=x2y−3xy−3+3x2y+xy−0,5x+5=4x2y−2xy−0,5x+2

G−H=(x2y−3xy−3)−(3x2y+xy−0,5x+5)

=x2y−3xy−3−3x2y−xy+0,5x−5=−2x2y−4xy+0,5x−8

Luyện tập 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x = 2 và y = −1.

K = (x2y + 2xy3) – (7,5x3y2 – x3) + (3xy3 – x2y + 7,5x3y2).

Lời giải:

Vận dụng: Trở lại tình huống mở đầu, hãy trình bày ý kiến của em.

Trong buổi sinh hoạt câu lạc bộ Toán học của lớp, hai bạn tính giá trị của hai đa thức P = 2x2y – xy2 + 22 và Q = xy2 – 2x2y + 23 tại những giá trị cho trước của x và y. Kết quả được ghi lại như bảng bên.

Ban giám khảo cho biết một cột chắc chắn có kết quả sai.

Theo em, làm thế nào để có thể nhanh chóng phát hiện cột đó?

Lời giải:

Ta có P + Q = (2x2y – xy2 + 22) + (xy2 – 2x2y + 23)

= 2x2y – xy2 + 22 + xy2 – 2x2y + 23

= (2x2y – 2x2y) + (xy2 – xy2) + 23 + 22 = 45.

Ta xét từng cột trong bảng trên, ta có:

• Cột thứ nhất: P + Q = 19 + 26 = 45;

• Cột thứ hai: P + Q = 25 + 20 = 45;

• Cột thứ ba: P + Q = 38 + 17 = 55;

• Cột thứ tư: P + Q = 22 + 23 = 45.

Vì tổng P + Q luôn bằng 45 nên cột thứ ba có kết quả sai.

Bài tập

Bài 1.14: Tính tổng và hiệu của hai đa thức P = x2y + x3 – xy2 + 3 và Q = x3 + xy2 – xy – 6.

Lời giải:

P+Q=(x2y+x3−xy2+3)+(x3+xy2−xy−6)

=x2y+x3−xy2+3+x3+xy2−xy−6=x2y+2x3−xy−3

P−Q=(x2y+x3−xy2+3)−(x3+xy2−xy−6)

=x2y+x3−xy2+3−x3−xy2+xy+6=x2y−2xy2+xy+9

Bài 1.15: Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x – y) + (y – z) + (z – x);

b) (2x – 3y) + (2y – 3z) + (2z – 3x).

Lời giải:

a) (x – y) + (y – z) + (z – x)

= x – y + y – z + z – x

= (x – x) + (y – y) + (z – z)

= 0 + 0 + 0 = 0

b) (2x – 3y) + (2y – 3z) + (2z – 3x)

= 2x – 3y + 2y – 3z + 2z – 3x

= (2x – 3x) + (2y – 3y) + (2z – 3z)

= –x – y – z.

Bài 1.16: Tìm đa thức M biết M – 5x2 + xyz = xy + 2x2 – 3xyz + 5.

Lời giải:

Bài 1.17: Cho hai đa thức A = 2x2y + 3xyz – 2x + 5 và B = 3xyz – 2x2y + x – 4.

a) Tìm các đa thức A + B và A – B;

b) Tính giá trị của các đa thức A và A + B tại x = 0,5; y = −2 và z = 1.

Lời giải:

a) A+B=(2x2y+3xyz−2x+5)+(3xyz−2x2y+x−4)

=2x2y+3xyz−2x+5+3xyz−2x2y+x−4=6xyz−x+1

A−B=(2x2y+3xyz−2x+5)−(3xyz−2x2y+x−4)

=2x2y+3xyz−2x+5−3xyz+2x2y−x+4=4x2y−3x+9

b) Thay x = 0,5; y = -2 và z = 1 vào A + B ta có:

A+B=6×0,5×(−2)×1−0,5+1=−5,5

Thay x = 0,5; y = -2 và z = 1 vào A  ta có:

A=2×0,52×(−2)+3×0,5×(−2)×1−2×0,5+5=0

Vậy tại x = 0,5; y = −2 và z = 1 thì A = 0 và A + B = −5,5.