Giải SGK Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Mở đầu: Xét bài toán cổ sau:

Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui.

Chia ba mỗi quả quýt rồi,

Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh.

Trăm người, trăm miếng ngọt lành.

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?

Trong bài toán này có hai đại lượng chưa biết (số cam và số quýt). Vậy ta có thể giải bài toán đó tương tự “giải bài toán bằng cách lập phương trình” được hay không? Để trả lời câu hỏi này, trước hết chúng ta cần tìm hiểu về phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Trả lời:

Gọi x là số cam, y là số quýt cần tính (x, y ∈ ℕ*).

− Câu “Quýt, cam mười bảy quả tươi”, tức là tổng số cam và số quýt là 17 nên x + y = 17.

− Câu “Chia ba mỗi quả quýt rồi”, tức là mỗi quả quýt chia ba nên có 3y miếng quýt.

− Câu “Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh”, tức là chia mười mỗi quả cam nên có 10x miếng cam.

− Câu “Trăm người, trăm miếng ngọt lành”, tức là tổng số miếng cam và quýt là 100 miếng nên 10x + 3y = 100.

Theo đề bài, ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

$\{\begin{array}{c}x+y=17\\ 10x+3y=100.\end{array}$

Vậy ta có thể giải bài toán đã cho tương tự “giải bài toán bằng cách lập phương trình” bằng cách tìm nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+y=17\\ 10x+3y=100.\end{array}$

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Hoạt động 1: Câu “Quýt, cam mười bảy quả tươi” có nghĩa là tổng số cam và số quýt là 17. Hãy viết hệ thức với hai biến x và y biểu thị giả thiết này.

Trả lời:

- Hệ thức biểu thị: x + y = 17.

Hoạt động 2: Tương tự, hãy viết hệ thức với hai biến x và y biểu thị giả thiết cho bởi các câu thơ thứ ba, thứ tư và thứ năm.

Trả lời:

− Câu thơ thứ ba “Chia ba mỗi quả quýt rồi” tức là mỗi quả quýt chia ba nên có 3y miếng quýt.

− Câu thơ thứ tư “Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh” tức là chia mười mỗi quả cam nên có 10x miếng cam.

− Câu thơ thứ năm “Trăm người, trăm miếng ngọt lành” tức là tổng số miếng cam và quýt là 100 miếng nên 10x + 3y = 100.

Luyện tập 1: Hãy viết một phương trình bậc nhất hai ẩn và chỉ ra một nghiệm của nó.

Trả lời:

Phương trình bậc nhất hai ẩn: 5x – 3y = 1

Cặp số (2; 3) là nghiệm của phương trình 5x – 3y = 1, vì 5.2 – 3.3 = 1.

Luyện tập 2: Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) 2x – 3y = 5;

b) 0x + y = 3;

c) x + 0y = −2.

Trả lời:

a) Xét phương trình 2x – 3y = 5.                (1)

Ta viết (1) dưới dạng $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$. Mỗi cặp số $\left(x;\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\right)$ với x ∈ ℝ tùy ý, là một nghiệm của phương trình (1).

Khi đó, ta nói phương trình (1) có nghiệm (tổng quát) là: $\left(x;\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\right)$ với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$. Ta cũng gọi đường thẳng này là đường thẳng d: 2x – 3y = 5.

Ta xác định được hai điểm tùy ý của đường thẳng $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$, chẳng hạn A(1; –1), B(4; 1). Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó, ta được đường thẳng $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$

b) Xét phương trình 0x + y = 3.          (2)

Ta viết gọn (2) thành y = 3. Phương trình (2) có nghiệm (x; 3) với x ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm M(0; 3). Ta gọi đó là đường thẳng y = 3.

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình y = 3 như sau:

c) Xét phương trình x + 0y = −2.        (3)

Ta viết gọn (3) thành x = −2. Phương trình (3) có nghiệm (−2; y) với y ∈ ℝ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm (−2; 0). Ta gọi đó là đường thẳng x = −2.

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình x = −2 như sau:

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập 3: Trong hai cặp số (0; −2); và (2; −1), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x-2y=4\\ 4x+3y=5\end{array}?$

Trả lời:

Thay (0; -2) vào hệ đã cho ta có:

Nên (0; -2) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Thay (2; -1) vào hệ đã cho ta có:

Nên (2; -1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Vận dụng: Xét bài toán cổ trong tình huống mở đầu. Gọi x là số cam, y là số quýt cần tính (x, y ∈ ℕ*), ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau: $\{\begin{array}{c}x+y=17\\ 10x+3y=100.\end{array}$

Trong hai cặp số (10; 7) và (7; 10), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình trên? Từ đó cho biết một phương án về số cam và số quýt thỏa mãn yêu cầu của bài toán cổ.

Trả lời:

Xét hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y=17\\ 10x+3y=100\end{array}$.

* Ta thấy khi x = 10; y = 7 thì

• x + y = 10 + 7 = 17 nên (10; 7) là nghiệm của phương trình thứ nhất;

• 10x + 3y = 10 . 10 + 3 . 7 = 100 + 21 = 121 ≠ 100 nên (10; 7) không phải là nghiệm của phương trình thứ hai.

Do đó (10; 7) không là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (10; 7) không phải là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

* Ta thấy khi x = 7; y = 10 thì

• x + y = 7 + 10 = 17 nên (7; 10) là nghiệm của phương trình thứ nhất;

• 10x + 3y = 10 . 7 + 3 . 10 = 70 + 30 = 100 nên (7; 10) là nghiệm của phương trình thứ hai.

Do đó (7; 10) là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (7; 10) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Vậy cặp số (7; 10) là nghiệm của hệ phương trình trên; số cam và số quýt thỏa mãn yêu cầu của bài toán cổ là 7 quả quả cam và 10 quả quýt.

Bài tập

Bài 1.1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn? Vì sao?

a) 5x – 8y = 0;

b) 4x + 0y = –2;

c) 0x + 0y = 1;

d) 0x – 3y = 9.

Trả lời:

Bài 1.2:

a) Tìm giá trị thích hợp thay cho dấu "?" trong bảng sau rồi cho biết 6 nghiệm của phương trình 2x – y = 1:

b) Viết nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.

Trả lời:

a)

• Với x = –1, ta có y = 2 . (–1) – 1 = – 2 – 1 = –3;

• Với x = –0,5, ta có y = 2 . (–0,5) – 1 = – 1 – 1 = –2;

• Với x = 0, ta có y = 2 . 0 – 1 = 0 – 1 = –1;

• Với x = 0,5, ta có y = 2 . 0,5 – 1 = 1 – 1 = 0;

• Với x = 1, ta có y = 2 . 1 – 1 = 2 – 1 = 1;

• Với x = 2, ta có y = 2 . 2 – 1 = 4 – 1 = 3.

Vậy ta có bảng sau:

Vậy 6 nghiệm của phương trình đã cho là (–1; –3), (–0,5; –2), (0; –1), (0,5; 1), (1; 1), (2; 3).

b) Ta có y = 2x – 1. Với mỗi giá trị x tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị y tương ứng.

Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm. Nghiệm tổng quát của phương trình đó là: (x; 2x – 1) với x ∈ ℝ tùy ý.

Bài 1.3: Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) 2x – y = 3;

b) 0x + 2y = –4;

c) 3x + 0y = 5.

Trả lời: