Giải SGK Toán 9 Kết nối tri thức Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Mở đầu: Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm3 là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng 1 cm3 đồng nặng 8,9 g và 1 cm3 kẽm nặng 7 g.

Trả lời:

Gọi x là số gam đồng, y là số gam kẽm cần tính (x > 0, y > 0).

Vật có khối lượng 124 g nên ta có x + y = 124.   (1)

Vì 1 cm3 đồng nặng 8,9 g nên 1 g đồng có thể tích $\frac{1}{\mathrm{8,9}}=\frac{10}{89}\left(c{m}^3\right).$

Vì 1 cm3 kẽm nặng 7 g nên 1 g kẽm có thể tích $\frac{1}{7}c{m}^3.$

Thể tích của x (g) đồng là $\frac{10}{89}x\left(c{m}^3\right).$

Thể tích của y (g) kẽm là $\frac{1}{7}y\left(c{m}^3\right).$

Vật có thể tích 15 cm3 nên ta có $\frac{10}{89}x+\frac{1}{7}y=15$.    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+y=124\\ \frac{10}{89}x+\frac{1}{7}y=15\end{array}$.

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 7, ta được: $\{\begin{array}{c}x+y=124\\ \frac{70}{89}x+y=105\end{array}$.

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được

$\left(x+y\right)-\left(\frac{70}{89}x+y\right)=19$ hay $\frac{19}{89}x=\mathrm{19,}$ suy ra x = 89 (thỏa mãn điều kiện).

Thế x = 89 vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta có

89 + y = 124, suy ra y = 35 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy trong vật đó có 89 g đồng và 35 g kẽm.

Hoạt động 1: Xét bài toán ở tình huống mở đầu. Gọi x là số gam đồng, y là số gam kẽm cần tính. Biểu thị khối lượng của vật qua x và y.

Trả lời:

- Vật có khối lượng là 124g và được làm bởi kẽm và đồng nên tổng khối lượng đồng và kẽm chính là khối lượng của vật nên ta có phương trình: x + y = 124

Hoạt động 2: Xét bài toán ở tình huống mở đầu. Gọi x là số gam đồng, y là số gam kẽm cần tính. Biểu thị thể tích của vật qua x và y.

Trả lời:

Thể thích của vật:  (cm3)

Hoạt động 3: Giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y nhận được ở HĐ1 và HĐ2. Từ đó trả lời câu hỏi ở tình huống mở đầu.

Trả lời:

Từ HĐ1 và HĐ2 ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+y=124\\ \frac{10}{89}x+\frac{1}{7}y=15\end{array}$.

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 7, ta được: $\{\begin{array}{c}x+y=124\\ \frac{70}{89}x+y=105\end{array}$.

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được

$\left(x+y\right)-\left(\frac{70}{89}x+y\right)=19$ hay $\frac{19}{89}x=\mathrm{19,}$ suy ra x = 89 (thỏa mãn điều kiện).

Thế x = 89 vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta có

89 + y = 124, suy ra y = 35 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy trong vật đó có 89 g đồng và 35 g kẽm.

Luyện tập 1: Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài 170 km. Sau khi xe khách xuất phát 1 giờ 40 phút, một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh (trên cùng một tuyến đường với xe khách) và gặp xe khách sau đó 40 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15 km.

Trả lời:

Luyện tập 2: Nếu hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được $\frac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

Trả lời:

Gọi thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là x; y giờ (x, y > 0).

Một giờ vòi thứ nhất chảy được (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được  (bể).

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút (1 giờ 20 phút =giờ) nên 1 giờ cả hai vòi chảy được  (bể).

Nên ta có phương trình  (1)

Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút (10 phút =  giờ) thì vòi thứ nhất chảy được  (bể).

Vòi thứ hai trong 12 phút (12 phút = thì vòi thứ hai chảy được 

Thì hai vòi chảy được  bể nước.

Nên ta có phương trình 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với  ta được , từ đó ta được:

Trừ từng vế của hai phương trình ta được suy ra 

Với x = 2 thay vào phương trình (1) ta được  nên y = 4 (thỏa mãn)

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng cần 2 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai cần 4 giờ thì đầy bể.

Bài tập

Bài 1.15: Tìm số nhiên n có hai số, biết rằng tổng của hai chữ số bằng 12, và nếu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn n là 36 đơn vị.

Trả lời:

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$(a, b ∈ ℕ*; 0 < a < b < 10) .

Tổng của hai chữ số bằng 12 nên ta có a + b = 12. (1)

Số ban đầu là $\overline{ab}=10a+b$.

Khi đổi chỗ hai chữ số thì ta được số mới là $\overline{ba}=10b+a$.

Số mới lớn hơn số cũ 36 đơn vị nên ta có phương trình

10a + b + 36 = 10b + a hay 9b – 9a = 36, suy ra b – a = 4.         (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}a+b=12\\ b-a=4\end{array}$.

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 2a = 8 hay a = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Thay a = 4 vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có

4 + b = 12, suy ra b = 12 – 4 = 8 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số cần tìm là 48.

Bài 1.16: Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu "?"):

Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai số đó.

Trả lời:

Bài 1.17: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc. Năm nay, hai đơn vị thu hoạch 4 095 tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc, biết rằng năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái?

Trả lời:

Gọi số thóc của đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x, y (tấn thóc) (x, y > 0).

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc nên ta có phương trình x + y = 3 600 (tấn thóc).

Năm nay đội thứ nhất làm vượt mức 15%  so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được 115%x = 1,15x (tấn thóc).

Đội thứ hai làm vượt mức 12%  so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được 112%y = 1,12y (tấn thóc).

Theo bài, năm nay hai đội thu hoạch được 4 095 tấn thóc nên ta có phương trình

1,15x + 1,12y = 4095.

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y=3600\\ \mathrm{1,15}x+\mathrm{1,12}y=4095\end{array}$.

Từ phương trình thứ nhất ta có y = 3 600 – x. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

1,15x + 1,12(3 600 – x) = 4 095, tức là 0,03x + 4 032 = 4 095.

Suy ra 0,03x = 63 hay x = 2 100 (thỏa mãn điều kiện).

Từ đó y = 3 600 – 2 100 = 1 500 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy năm nay đội thứ nhất thu hoạch được 1,15 . 2 100 = 2 415 tấn thóc, đội thứ hai thu hoạch được 1,12 . 1 500 = 1 680 tấn thóc.

Dùng máy tính cầm tay ta kiểm tra được nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{array}{c}x+y=3600\\ \mathrm{1,15}x+\mathrm{1,12}y=4095\end{array}$ là (2 100; 1 500).

Từ đó, kết quả thu được năm nay đội thứ nhất thu hoạch được 2 415 tấn thóc, đội thứ hai thu hoạch được 1 680 tấn thóc là đúng.

Bài 1.18: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Trả lời: