Giải SGK Toán 9 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Mở đầu: Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 15 m người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là x (m) (H.2.1). Để diện tích phần đất còn lại là 169 m2 thì bề rộng x của lối đi là bao nhiêu?

Trả lời:

Phần đất còn lại có dạng hình vuông có độ dài cạnh là: 15 – x – x = 15 – 2x (m). Do độ dài cạnh của phần đất còn lại lớn hơn 0 nên 15 – 2x > 0.

Diện tích phần đất còn lại là: (15 – 2x)2 (m2).

Theo bài, diện tích phần đất còn lại là 169 m2 nên ta có phương trình:

(15 – 2x)2 = 169.

Giải phương trình:

(15 – 2x)2 = 169

(15 – 2x)2 – 132 = 0

(15 – 2x – 13)(15 – 2x + 13) = 0

(2 – 2x)(28 – 2x) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

⦁ 2 – 2x = 0 hay –2x = –2, suy ra x = 1.

⦁ 28 – 2x = 0 hay –2x = –28, suy ra x = 14.

Với x = 1 thì độ dài cạnh của phần đất còn lại là 15 – 2.1 = 13 (m).

Với x = 14 thì độ dài cạnh của phần đất còn lại là 15 – 2.14 = –13 < 0 (vô lí).

Vậy để diện tích phần đất còn lại là 169 m2 thì bề rộng của lối đi là 1 m.

1. Phương trình tích

Hoạt động 1: Phân tích đa thức P(x) = (x + 1)(2x – 1) + (x + 1)x thành nhân tử.

Trả lời:

Hoạt động 2: Giải phương trình P(x) = 0.

Trả lời:

P(x) =(x+1)(3x-1)

Với P(x) = 0

TH1: x + 1 = 0 hay x = -1

TH2: 3x – 1 = 0 hay x = 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -1 và x = .

Luyện tập 1: Giải các phương trình sau:

a) (3x + 1)(2 – 4x) = 0;

b) x2 – 3x = 2x – 6.

Trả lời:

a) (3x + 1)(2 – 4x) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

⦁ 3x + 1 = 0 hay 3x = –1, suy ra $x=-\frac{1}{3}.$

⦁ 2 – 4x = 0 hay –4x = –2, suy ra $x=\frac{1}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-\frac{1}{3}$ và $x=\frac{1}{2}.$

b) x2 – 3x = 2x – 6

(x2 – 3x) – (2x – 6) = 0

x(x – 3) – 2(x – 3) = 0

(x – 3)(x – 2) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

⦁ x – 3 = 0, suy ra x = 3.

⦁ x – 2 = 0, suy ra x = 2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3 và x = 2.

Vận dụng: Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Trả lời:

Phần đất còn lại có dạng hình vuông có độ dài cạnh là: 15 – x – x = 15 – 2x (m). Do độ dài cạnh của phần đất còn lại lớn hơn 0 nên 15 – 2x > 0.

Diện tích phần đất còn lại là: (15 – 2x)2 (m2).

Theo bài, diện tích phần đất còn lại là 169 m2 nên ta có phương trình:

(15 – 2x)2 = 169.

Giải phương trình:

(15 – 2x)2 = 169

(15 – 2x)2 – 132 = 0

(15 – 2x – 13)(15 – 2x + 13) = 0

(2 – 2x)(28 – 2x) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

⦁ 2 – 2x = 0 hay –2x = –2, suy ra x = 1.

⦁ 28 – 2x = 0 hay –2x = –28, suy ra x = 14.

Với x = 1 thì độ dài cạnh của phần đất còn lại là 15 – 2.1 = 13 (m).

Với x = 14 thì độ dài cạnh của phần đất còn lại là 15 – 2.14 = –13 < 0 (vô lí).

Vậy để diện tích phần đất còn lại là 169 m2 thì bề rộng của lối đi là 1 m.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Hoạt động 3: Xét phương trình $x+\frac{1}{x+1}=-1+\frac{1}{x+1}.$.Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, rồi thu gọn vế trái.

Trả lời:

Hoạt động 4: Xét phương trình $x+\frac{1}{x+1}=-1+\frac{1}{x+1}.$. Giá trị x = –1 có là nghiệm của phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Trả lời:

Luyện tập 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{3x+1}{2x-1}=1;$

b) $\frac{x}{x-1}+\frac{x+1}{x}=2.$

Trả lời:

a) 2x – 1 0 khi x 

Điều kiện xác định của phương trình đã cho là x 

b) Điều kiện xác định của phương trình đã cho là x – 1  và x 

Hoạt động 5: Xét phương trình $\frac{x+3}{x}=\frac{x+9}{x-3}.$. Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (1):

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (1);

b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (1), rồi khử mẫu;

c) Giải phương trình vừa tìm được;

d) Kết luận nghiệm của phương trình (1).

Trả lời:

a) Ta có: x – 3 ≠ 0 khi x ≠ 3.

Vậy điều kiện xác định của phương trình (1) là x ≠ 3 và x ≠ 0.

b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (1), ta được:

$\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)}=\frac{\left(x+9\right)x}{\left(x-3\right)x}$

Khử mẫu ta được: (x + 3)(x – 3) = (x + 9)x.

c) Giải phương trình:

(x + 3)(x – 3) = (x + 9)x

x2 – 9 = x2 + 9x

x2 – 9 – x2 – 9x = 0

–9x = 9

x = –1.

d) Giá trị x = –1 thỏa mãn điều kiện xác định x ≠ 3 và x ≠ 0 của phương trình (1).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = –1.

Luyện tập 3: Giải phương trình $\frac{1}{x-1}-\frac{4x}{x^3-1}=\frac{x}{x^2+x+1}.$

Trả lời:

Bài tập

Bài 2.1: Giải các phương trình sau:

a) x(x – 2) = 0;

b) (2x + 1)(3x – 2) = 0.

Trả lời:

a) x(x – 2) = 0

Suy ra x = 0 hoặc x – 2 = 0

Do đó x = 0 hoặc x = 2.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 và x = 2.

b) (2x + 1)(3x – 2) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

⦁ 2x + 1 = 0 hay 2x = –1, suy ra $x=-\frac{1}{2}.$

⦁ 3x – 2 = 0 hay 3x = 2, suy ra $x=\frac{2}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-\frac{1}{2}$ và $x=\frac{2}{3}.$

Bài 2.2: Giải các phương trình sau:

a) (x2 – 4) + x(x – 2) = 0;

b) (2x + 1)2 – 9x2 = 0.

Trả lời:

a) 

TH1: x – 2 = 0 hay x = 2

TH2: 2x + 2 = 0 hay x = -1

Vậy x = 2 hoặc x = -1.

b) 

Vậy x = 1 hoặc x = 

Bài 2.3: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2}{2x+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{3}{\left(2x+1\right)\left(x+1\right)};$

b) $\frac{1}{x+1}-\frac{x}{x^2-x+1}=\frac{3x}{x^3+1}.$

Trả lời:

Bài 2.4: Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 14 m và chiều rộng 12 m. Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phần diện tích đất để làm sân vườn như Hình 2.2. Biết diện tích đất làm nhà là 100 m2. Hỏi x bằng bao nhiêu mét?

Trả lời:

Chiều dài của phần đất làm nhà là: 14 – (x + 2) = 12 – x (m). Điều kiện x < 12.

Chiều rộng của phần đất làm nhà là: 12 – x (m).

Diện tích đất làm nhà là: (12 – x)2 (m2).

Theo bài, diện tích đất làm nhà là 100 m2 nên ta có phương trình:

(12 – x)2 = 100. (*)

Giải phương trình (*):

(12 – x)2 = 100

(12 – x)2 – 102 = 0

(12 – x – 10)(12 – x + 10) = 0

(2 – x)(22 – x) = 0

Suy ra 2 – x = 0 hoặc 22 – x = 0

Do đó x = 2 hoặc x = 22.

Ta thấy x = 2 thỏa mãn điều kiện x < 12.

Vậy x = 2.

Bài 2.5: Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, x > 0).

a) Hãy biểu thị theo x:

– Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;

– Khối lượng công việc mà nguời thứ hai làm được trong 1 giờ.

b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.

Trả lời:

a) Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, x > 0) 

Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ là: 

Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 8 giờ là: 8.

Vì hai người làm chung xong 1 công việc hết 8 giờ, nên lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 8 giờ là: 1 - 

Suy ra lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ là:

b) Hãy lập phương trình theo x 

Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 4 giờ là: 

Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 16 giờ (4 giờ làm chung + 12 giờ làm riêng) là:

Công việc hoàn thành khi người thứ nhất làm 4 giờ, người thứ hai làm 16 giờ nên ta có phương trình: 

Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất cần 12 giờ để hoàn thành công việc.

Trong 1 giờ người thứ hai làm được: 

Vậy nếu làm một mình, để hoàn thành một công việc người thứ hai cần: 24 giờ.