Giải SGK Toán 9 Kết nối tri thức Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Mở đầu: Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó, biết rằng:

– Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây;

– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

Trả lời:

Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ ℕ*).

Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây).

– Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây

Số luống trong vườn sau khi tăng thêm 8 luống là x + 8 (luống).

Khi mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y – 3 (cây).

Theo đề bài, ta có phương trình là:

(x + 8)(y – 3) = xy – 108

xy – 3x + 8y – 24 = xy – 108

3x – 8y = 84.        (1)

– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

Số luống trong vườn sau khi giảm đi 4 luống là x – 4 (luống).

Khi mỗi luống trồng thêm 2 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y + 2 (cây).

Theo đề bài, ta có phương trình là:

(x – 4)(y + 2) = xy + 64

xy + 2x – 4y – 8 = xy + 64

2x – 4y = 72

x – 2y = 36.          (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}3x-8y=84\\ x–2y=36\end{array}$

Từ phương trình thứ hai, ta có x = 2y + 36. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

3(2y + 36) – 8y = 84, tức là 6y + 216 – 8y = 84, suy ra 2y = 132 hay y = 66.

Từ đó x = 2y + 36 = 2 . 66 + 36 = 168.

Vậy số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là: 168 . 66 = 11 088 (cây).

1. Phương pháp thế

Hoạt động 1: Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+y=3\\ 2x-3y=1\end{array}.$

Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:

1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của x.

2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Trả lời:

1. Ta có x + y = 3 suy ra y = 3 – x thay vào phương trình 2x – 3y = 1 ta được

2x – 3y = 1 ta được:

2x – 3(3 – x) = 1

2x – 9 + 3x = 1

5x = 10

x = 2

2. Với x = 2 suy ra y = 3 – 2 = 1. Vậy (2; 1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Luyện tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\{\begin{array}{c}x-3y=2\\ -2x+5y=1;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}4x+y=-1\\ 7x+2y=-3.\end{array}$

Trả lời:

Luyện tập 2: Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}-2x+y=3\\ 4x-2y=-4\end{array}$ bằng phương pháp thế.

Trả lời:

Từ phương trình thứ nhất ta có y = 2x + 3. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

4x – 2(2x + 3) = –4, suy ra 4x – 4x – 6 = –4 hay 0x = 2. (1)

Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Luyện tập 3: Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+3y=-1\\ 3x+9y=-3\end{array}$ bằng phương pháp thế.

Trả lời:

Ta có x + 3y = -1 hay x =1 3y (2), thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

3(-1 – 3y) + 9y = -3

0y – 3 = -3 

0y = 0 (luôn đúng) (1)

Ta thấy với mọi y   thì đều thỏa mãn phương trình (1), ứng với mỗi y ta tìm được một x tương ứng được tính bởi (2).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1 – 3y; y) với y tùy ý.

Vận dụng 1: Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ ℕ*).

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x, y.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Trả lời:

Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ ℕ*).

Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây).

a) – Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây

Số luống trong vườn sau khi tăng thêm 8 luống là x + 8 (luống).

Khi mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y – 3 (cây).

Theo đề bài, ta có phương trình là:

(x + 8)(y – 3) = xy – 108

xy – 3x + 8y – 24 = xy – 108

3x – 8y = 84.        (1)

– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

Số luống trong vườn sau khi giảm đi 4 luống là x – 4 (luống).

Khi mỗi luống trồng thêm 2 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là: y + 2 (cây).

Theo đề bài, ta có phương trình là:

(x – 4)(y + 2) = xy + 64

xy + 2x – 4y – 8 = xy + 64

2x – 4y = 72

x – 2y = 36.          (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}3x-8y=84\\ x–2y=36\end{array}$.

b) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}3x-8y=84\\ x–2y=36\end{array}$

Từ phương trình thứ hai, ta có x = 2y + 36. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

3(2y + 36) – 8y = 84, tức là 6y + 108 – 8y = 84, suy ra −2y = −24 hay y = 12.

Từ đó x = 2y + 36 = 2 . 12 + 36 = 60.

Số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là: 12 . 60 = 720 (cây).

2. Phương pháp cộng đại số

Hoạt động 2: Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{c}2x+2y=3\\ x-2y=6\end{array}.$ Ta thấy hệ số của y trong hai phương trình là hai số đối nhau (tổng của chúng bằng 0). Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn x. Giải phương trình này để tìm x.

2. Sử dụng giá trị x tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm được giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Trả lời:

Luyện tập 4: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\{\begin{array}{c}-4x+3y=0\\ 4x-5y=-8;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}4x+3y=0\\ x+3y=9.\end{array}$

Trả lời:

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được –4x + 3y + 4x – 5y = –8 hay –2y = –8, suy ra y = 4.

Thế y = 4 vào phương trình thứ nhất, ta được –4x + 3. 4 = 0 hay 4x = 12, suy ra x = 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (3; 4).

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được 4x + 3y – x – 3y = –9 hay 3x = –9, suy ra x = –3.

Thế x = –3 vào phương trình thứ hai, ta được –3 + 3y = 9 hay 3y = 12, suy ra x = 4.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (–3; 4).

Luyện tập 5: Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}4x+3y=6\\ -5x+2y=4\end{array}$ bằng phương pháp cộng đại số.

Trả lời:

Luyện tập 6: Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}-\mathrm{0,5}x+\mathrm{0,5}y=1\\ -2x+2y=8.\end{array}$

Trả lời:

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với (–2) và chia hai vế của phương trình thứ hai cho (–2), ta được:

$\{\begin{array}{c}x-y=-2\\ x-y=-4.\end{array}$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới ta có 0x + 0y = 2.        (1)

Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Thực hành: Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{c}2x+3y=-4\\ -3x-7y=13;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}2x+3y=1\\ -x-\mathrm{1,5}y=1;\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}8x-2y-6=0\\ 4x-y-3=0.\end{array}$

Trả lời:

a) Ta có a1 = 2, b1 = 3, c1 = –4, a2 = –3, b2 = –7, c2 = 13. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số a1 = 2, b1 = 3, c1 = –4, a2 = –3, b2 = –7, c2 = 13 bằng cách bấm:

 (xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm , màn hình cho $x=\frac{11}{5};$ bấm tiếp bàn phím ), màn hình cho $y=-\frac{14}{5}$(xem màn hình sau bước 3).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $\left(\frac{11}{5};-\frac{14}{5}\right).$

b) Ta có a1 = 2, b1 = 3, c1 = 1, a2 = –1, b2 = –1,5, c2 = 1. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số a1 = 2, b1 = 3, c1 = 1, a2 = –1, b2 = –1,5, c2 = 1 bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Ta đưa hệ phương trình đã cho về dạng $\{\begin{array}{c}8x-2y=6\\ 4x-y=3\end{array}$.

Ta có a1 = 8, b1 = –2, c1 = 6, a2 = 4, b2 = –1, c2 = 3. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số a1 = 8, b1 = –2, c1 = 6, a2 = 4, b2 = –1, c2 = 3 bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Vận dụng 2: Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%.

a) Gọi x là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20%, y số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y:

– Thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.

– Tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ phương trình bậc nhất với hai ẩn là x, y. Giải hệ phương trình này để tính số mililít cần lấy của mỗi dung dịch acid HCl ở trên.

Trả lời:

Bài tập

Bài 1.6: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\{\begin{array}{c}x-y=3\\ 3x-4y=2;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}7x-3y=13\\ 4x+y=2;\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}\mathrm{0,5}x-\mathrm{1,5}y=1\\ -x+3y=2.\end{array}$

Trả lời:

a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = y + 3. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

3(y + 3) – 4y = 2, tức là 3y + 9 – 4y = 2, suy ra –y = –7 hay y = 7.

Từ đó x = 7 + 3 = 10.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (10; 7).

b) Từ phương trình thứ hai ta có y = –4x + 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

7x – 3(–4x + 2) = 13, tức là 7x + 12x – 6 = 13, suy ra 19x = 19 hay x = 1.

Từ đó y = –4 . 1 + 2 = –2.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; –2).

c) Từ phương trình thứ hai ta có x = 3y – 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được

0,5(3y – 2) – 1,5y = 1, tức là 1,5y – 1 – 1,5y = 1, suy ra 0y = 2.          (1)

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 1.7: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\{\begin{array}{c}3x+2y=6\\ 2x-2y=14;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,5}y=3\\ \mathrm{1,5}x-2y=\mathrm{1,5};\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}-2x+6y=8\\ 3x-9y=-12.\end{array}$

Trả lời:

a)  

Cộng từng vế của hai phương trình ta có (3x + 2y) + (2x – 2y) = 6 + 14 nên 5x = 20 suy ra x = 4.

Thế x = 4 vào phương trình thứ nhất ta được 3.4 + 2y = 6 nên 2y = -6 suy ra y = -3.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4; -3).

b) 

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được 1,5x + 1,5 y = 9, vậy hệ đã cho trở thành 

Trừ từng vế của hai phương tnfh ta có (1,5x + 1,5y) – (1,5x -2y) = 9 – 1,5 nên 3,5 y = 7,5 suy ra y = 

Thế y = vào phương trình thứ hai ta được 1,5 x – 2.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 

c) 

Nhân ca hai vế của phương trình thứ nhất với  cả hai vế cả phương trình thứ hai với  ta được x – 3y = -4.

Vậy hệ đã cho trở thành 

Cộng từng vế của hai phương trình ta có (-x + 3y) + (x -3y) = 4 + (-4) nên 0x + 0y = 0 (luôn đúng).

Ta thấy phương trình luôn đúng với x tùy ý và y tùy ý. Với giá trị tùy ý của y, giá trị của x được tính bởi phương trình -x + 3y = 4, suy ra x = 3y – 4 nên hệ phương trình đã cho có nghiệm (3y – 4; y) với y .

Bài 1.8: Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{c}2x-y=-3\\ -2m^{2}x+9y=3\left(m+3\right)\end{array},$ trong đó m là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) m = –2;

b) m = –3;

c) m = 3.

Trả lời:

Bài 1.9: Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{c}12x-5y+24=0\\ -5x-3y-10=0;\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}\frac{1}{3}x-y=\frac{2}{3}\\ x-3y=2;\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}3x-2y=1\\ -x+\frac{2}{3}y=0;\end{array}$

d) $\{\begin{array}{c}\frac{4}{9}x-\frac{3}{5}y=11\\ \frac{2}{9}x+\frac{1}{5}y=-2.\end{array}$

Trả lời:

a) Ta đưa hệ phương trình đã cho về dạng $\{\begin{array}{c}12x-5y=-24\\ 5x+3y=-10\end{array}$.

Ta có a1 = 12, b1 = –5, c1 = –24, a2 = 5, b2 = 3, c2 = –10.

Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số a1 = 12, b1 = –5, c1 = –24, a2 = 5, b2 = 3, c2 = –10 bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm , màn hình cho x = –2 bấm tiếp bàn phím ), màn hình cho y = 0 (xem màn hình sau bước 3).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (–2; 0).

b) Ta có $a_1=\frac{1}{3},b_1=-\mathrm{1,}{c}_1=\frac{2}{3},a_2=\mathrm{1,}{b}_2=–\mathrm{3,}{c}_2=2$

Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số $a_1=\frac{1}{3},b_1=-\mathrm{1,}{c}_1=\frac{2}{3},a_2=\mathrm{1,}{b}_2=–\mathrm{3,}{c}_2=2$ bằng cách bấm:   

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm  (xem màn hình sau bước 3).

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

c) Ta có $a_1=3,b_1=-\mathrm{2,}{c}_1=\mathrm{1,}{a}_2=-\mathrm{1,}{b}_2=\frac{2}{3},c_2=0$

Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số $a_1=3,b_1=-\mathrm{2,}{c}_1=\mathrm{1,}{a}_2=-\mathrm{1,}{b}_2=\frac{2}{3},c_2=0$ bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm (xem màn hình sau bước 3).

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Ta có $a_1=\frac{4}{9},b_1=-\frac{3}{5},c_1=\mathrm{11,}{a}_2=\frac{2}{9},b_2=\frac{1}{5},c_2=-2$.

Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số $a_1=\frac{4}{9},b_1=-\frac{3}{5},c_1=\mathrm{11,}{a}_2=\frac{2}{9},b_2=\frac{1}{5},c_2=-2$ bằng cách bấm:

(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm , màn hình cho $x=\frac{9}{2}$ bấm tiếp bàn phím ), màn hình cho y = –15 (xem màn hình sau bước 3).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $\left(\frac{9}{2};-15\right)$.