Mở đầu: Bạn Thanh có 100 nghìn đồng. Bạn muốn mua một cái bút giá 18 nghìn đồng và một số quyển vở, mỗi quyển vở giá 7 nghìn đồng. Hỏi bạn Thanh mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?
Trả lời:
Gọi x (quyển) là số vở mà Thanh có thể mua. (x ∈ ℕ*).
Số tiền mua x quyển vở là 7x (nghìn đồng).
Số tiền mua một cái bút và một số quyển vở là 18 + 7x (nghìn đồng).
Theo bài, bạn Thanh có 100 nghìn đồng nên ta có bất phương trình:
18 + 7x ≤ 100
7x ≤ 100 – 18
7x ≤ 82
Vì x ∈ ℕ* nên Thanh có thể mua được nhiều nhất là 11 quyển vở.
1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
Luyện tập 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn x?
a) –3x + 7 ≤ 0;
b)
c) x3 > 0.
Trả lời:
Luyện tập 2: Trong các số –2; 0; 5, những số nào là nghiệm của bất phương trình 2x – 10 < 0?
Trả lời:
Thay x = -2 vào bất phương trình 2x – 10 < 0 ta được: 2.(-2) – 10 < 0
Hay -14 < 0 là một khẳng định đúng
Vậy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình 2x – 10 < 0.
Thay x = 5 vào bất phương trình 2x – 10 < 0 ta được 2.5 – 10 < 0
Hay 0 < 0 là một khẳng định sau.
Vậy x = 5 không là nghiệm của bất phương trình 2x – 10 < 0
Thay x = 0 vào bất phương trình 2x – 10 < 0 ta được: 2.0 – 10 < 0
Hay -10 < 0 là một khẳng định đúng
Vậy x = 0 là nghiệm của bất phương trình 2x – 10 < 0.
Kết luận: -2; 0 là nghiệm của bất phương trình 2x – 10 < 0.
2. Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Hoạt động: Xét bất phương trình 5x + 3 < 0. (1)
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải bất phương trình (1):
a) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức, cộng vào hai vế của bất phương trình (1) với –3, ta được một bất phương trình, kí hiệu là (2).
b) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức, nhân vào hai vế của bất phương trình (2) với (tức là chia cả hai vế của bất phương trình (2) cho hệ số của x là 5) để tìm nghiệm của bất phương trình.
Trả lời:
a) Cộng vào hai vế của bất phương trình (1) với –3, ta được:
5x + 3 + (–3) < 0 + (–3)
5x < –3. (2)
b) Nhân vào hai vế của bất phương trình (2) với ta được:
Vậy nghiệm của bất phương trình là
Luyện tập 3: Giải các bất phương trình:
a) 6x + 5 < 0;
b) –2x – 7 > 0.
Trả lời:
a) 6x + 5 < 0;
Ta có 6x + 5 < 0;
6x < -5 (cộng cả hai vế của bất đẳng thức với – 5)
x < 
(nhân cả hai vế của bất phương trình với 
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 
b) -2x – 7 > 0
Ta có -2x – 7 > 0.
-2x < 7 (cộng cả hai vế của bất đẳng thức với 7)
x > 
(nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 
)
Vậy nghiệm của bất phương trình là 
Luyện tập 4: Giải các bất phương trình sau:
a) 5x + 7 > 8x – 5;
b) –4x + 3 ≤ 3x – 1.
Trả lời:
a) 5x + 7 > 8x – 5
5x – 8x > –5 – 7
–3x > –12
x < 4.
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 4.
b) –4x + 3 ≤ 3x – 1
–4x + 3 ≤ 3x – 1
–4x – 3x ≤ –1 – 3
–7x ≤ –4
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là
Vận dụng: Trong một cuộc thi tuyển dụng việc làm, ban tổ chức quy định mỗi người ứng tuyển phải trả lời 25 câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi này có săn bốn đáp án, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Người ứng tuyển chọn đáp án đúng sẽ được cộng thêm 2 điểm, chọn đáp án sai bị trừ đi 1 điểm. Ở vòng sơ tuyển, ban tổ chức tặng cho mỗi người dự thi 5 điểm và theo quy định người ứng tuyển phải trả lời hết 25 câu hỏi; người nào có số điểm từ 25 trở lên mới được dự thi vòng tiếp theo. Hỏi người ứng tuyển phải trả lời chính xác ít nhất bao nhiêu câu hỏi ở vòng sơ tuyển thì mới được vào vòng tiếp theo?
Trả lời:
Gọi x là số câu trả lời đúng (0 ≤ x ≤ 25, x ∈ ℕ*).
Số câu trả lời sai là: 25 – x (câu).
Trả lời đúng x câu hỏi được cộng 2x (điểm).
Trả lời sai 25 – x câu hỏi bị trừ 25 – x (điểm).
Vì vậy, sau khi trả lời 25 câu thì người dự thi sẽ có số điểm là:
2x – (25 – x) = 2x – 25 + x = 3x – 25 (điểm).
Theo bài, để được dự thi tiếp vòng sau thì cần có số điểm từ 25 trở lên, nên ta có bất phương trình:
3x – 25 ≥ 25
3x ≥ 50
Mà 0 ≤ x ≤ 25, x ∈ ℕ* nên người ứng tuyển cần phải trả lời chính xác ít nhất là 17 câu hỏi thì mới được dự thi tiếp vòng sau.
Bài tập
Bài 2.16: Giải các bất phương trình sau:
a) x – 5 ≥ 0;
b) x + 5 ≤ 0;
d) 4x – 12 < 0.
Trả lời:
Bài 2.17: Giải các bất phương trình sau:
a) 3x + 2 > 2x + 3;
b) 5x + 4 < –3x – 2.
Trả lời:
a) 3x + 2 > 2x + 3
3x – 2x > 3 – 2
x > 1.
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 1.
b) 5x + 4 < –3x – 2.
5x + 3x < – 2 – 4
8x < –6
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là
Bài 2.18: Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn 1 tháng là 0,4%/ tháng. Hỏi nếu muốn có số tiền lãi hằng tháng ít nhất là 3 triệu đồng thì số tiền gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?
Trả lời:
Gọi số tiền gửi mỗi tháng là x(triệu đồng) (x > 0)
Số tiền lãi gửi mỗi tháng khi gửi x triệu đồng là 0,4%x = 0,004x (triệu đồng)
Số tiền lãi hàng tháng ít nhất là 3 triệu đồng nên ta có:
0,004x 
hay 
Vậy cần gửi ít nhất 750 triệu đồng.
Bài 2.19: Một hãng taxi có giá mở cửa là 15 nghìn đồng và giá 12 nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Hỏi với 200 nghìn đồng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa bao nhiêu kilômét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Trả lời:
Bài 2.20: Người ta dùng một loại xe tải để chở sữa tươi cho một nhà máy. Biết mỗi thùng sữa loại 180 ml nặng trung bình 10 kg. Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là 5,25 tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng sữa như vậy, biết bác lái xe nặng 65 kg?
Trả lời:
Đổi đơn vị: 5,25 tấn = 5 250 kg.
Gọi x (thùng) là số sữa mà xe có thể chở (x ∈ ℕ*).
Khi đó, khối lượng sữa mà xe chở là: 10x (kg).
Tổng khối lượng sữa và bác tài xế là: 65 + 10x (kg).
Do trọng tải (tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là 5 250 kg nên ta có:
65 + 10x ≤ 5 250
10x ≤ 5 185
x ≤ 518,5.
Mà x ∈ ℕ* nên xe tải đó có thể chở tối đa 518 thùng sữa.