Giải SGK Toán 9 Kết nối tri thức Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Hai đường tròn cắt nhau

Hoạt động 1: Cho hình 5.31, trong đó giả sử O'A < OA.

Ta có: OA – O'A < OO' < OA + O'A. Hãy vẽ hai đường tròn (O; OA) và (O'; O'A) và cho biết hai đường tròn này có mấy điểm chung?

Trả lời:

- Hai đường tròn sẽ có 2 điểm chung (OA – O'A < OO' < OA + O'A nên hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau). 

Luyện tập 1: Cho đường tròn (O; 5 cm) và điểm I cách O một khoảng 2 cm. Xác định vị trí tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn (I; r) trong mỗi trường hợp sau:

a) r = 4 cm;

b) r = 6 cm.

Trả lời:

a) Ta có: OI = 2 (cm);

R – r = 5 – 4 = 1 (cm) ;

R + r = 5 + 4 = 9 (cm).

Mà 1 < 2 < 9 nên R – r < OI < R + r.

Suy ra hai đường tròn cắt nhau.

a) Ta có: OI = 2 (cm) ; r – R = 6 – 5 = 1 (cm) ; R + r = 6 + 5 = 11 (cm).

Mà 1 < 2 < 11 nên r – R < OI < R + r.

2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hoạt động 2: Trên hình 5.33a, ta có OO' = OA + O'A; trên Hình 5.33b, ta có OO' = OA. Trong mỗi trường hợp, hãy vẽ hai đường tròn (O; OA) và (O; O'A) và cho biết hai đường tròn đó có mấy điểm chung?

Trả lời:

a)

- Hai đường tròn có một điểm chung

b)

- Hai đường tròn có một điểm chung

Luyện tập 2: Cho hai điểm O và O' sao cho OO' = 3 cm. Giải thích tại sao hai đường tròn (O; 8 cm) và (O' ; 5 cm) tiếp xúc với nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?

Trả lời:

Ta có: R = 8, R' = 5 cm, OO' = 3 cm.

Vì R – R' = 8 – 5 = 3 = OO' nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

3. Hai đường trong không giao nhau

Hoạt động 3: Trên hình 5.35a, ta có OO' > OA + OB, trên Hình 5.35b, ta có OO' < OA – O'B. Trong mỗi trường hợp, hãy vẽ hai đường tròn (O; OA) và (O' ; OB) và cho biết hai đường tròn đó có điểm chung nào không.

Trả lời:

a)

- Hai đường tròn không có điểm chung

b)

- Hai đường tròn không có điểm chung

Luyện tập 3: Cho hai điểm O và O' sao cho OO' = 2 cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O; 5 cm) và (O' ; r) , biết rằng r < 3 cm.

Trả lời:

Vì R – OO' = 5 – 2 = 3 (cm) > r nên R – r > OO'.

Do đó đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O; r).

Thực hành: Để mô phỏng nguyệt thực, hãy cắt hai hình tròn từ giấy: hình tròn thứ nhất màu sáng tượng trưng cho Mặt Trăng, hình tròn thứ hai màu tối (to hơn bằng giấy mờ càng tốt) tượng trưng cho bóng Trái Đất. Sắp xếp hai hình tròn để:

a) Mô phỏng nguyệt thực một phần. Khi đó, hình ảnh của hai đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

b) Mô phỏng nguyệt thực toàn phần. Khi đó, hình ảnh của hai đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

Trả lời:

a) Hai đường tròn đồng tâm và không tiếp xúc nhau

b) Hai đường tròn hoàn toàn trùng nhau

Tranh luận: Tròn cho rằng: Nói “hai đường tròn không cắt nhau” cũng có nghĩa là “hai đường tròn không giao nhau”. Theo em, Tròn đúng hay sai?

Trả lời:

- Tròn trả lời sai vì hai đường tròn không cắt nhau thì hai đường tròn có thể tiếp xúc nhau hoặc không giao nhau.

Bài tập

Bài 5.24: Hình 5.37 cho thấy hình ảnh của những đường tròn qua cách trình bày một số sản phẩm mây tre đan. Bằng cách đánh số các đường tròn, em hãy chỉ ra một vài cặp đường tròn cắt nhau và cặp đường tròn không giao nhau.

Trả lời:

- Các cặp đường tròn cắt nhau: 3 và 4, 2 và 5, 7 và 8, 8 và 9.

- Các cặp đường tròn không giao nhau: 1 và 4, 1 và 2, 2 và 4, 5 và 9, 6 và 8, …

Bài 5.25: Cho hai điểm O và O' cách nhau một khoảng 5 cm. Mỗi đường tròn sau đây có vị trí tương đối như thế nào đối với đường tròn (O; 3 cm).

a) Đường tròn (O'; 3 cm).

b) Đường tròn (O' ; 1 cm).

c) Đường tròn (O'; 8 cm).

Trả lời:

Ta có: OO' = 5 cm.

a) Vì 3 – 3 < 5 < 3 + 3 nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (O'; 3 cm) cắt nhau.

b) Vì 5 > 3 – 1 nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (O'; 1 cm) nằm ngoài nhau.

c) Vì 5 = 8 – 3 nên hai đường tròn (O; 3 cm) và (O'; 8 cm) tiếp xúc trong.

Bài 5.26: Cho ba điểm thẳng hàng O, A và O'. Với mỗi trường hợp sau, hãy viết hệ thức giữa các độ dài OO', OA và O'A rồi xét xem hai đường tròn (O; OA) và (O'; O'A) tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài với nhau; vẽ hình để khẳng định dự đoán của mình.

a) Điểm A nằm giữa hai điểm O và O';

b) Điểm O nằm giữa hai điểm A và O';

c) Điểm O' nằm giữa hai điểm A và O.

Trả lời:

a) 

Nếu điểm A nằm giữa hai điểm O và O' thì OO' = OA + O'A.

Do đó (O; OA) và (O'; O'A) tiếp xúc ngoài.

b) 

Nếu điểm O nằm giữa hai điểm A và O’ thì OO’ = O’A – OA

Suy ra (O; OA) và (O’; O’A) tiếp xúc trong.

c)

Nếu điểm O’ nằm giữa hai điểm A và O thì OO’ = OA – O’A

Suy ra (O; OA) và (O’; O’A) tiếp xúc trong.

Bài 5.27: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường thẳng qua A cắt (O) tại B và cắt (O') tại C. Chứng minh rằng OB // O'C.

Trả lời:

Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O, suy ra ${\mathrm{OBA^\backslash widehat\{OBA\}OBA}}^{}={\mathrm{OAB^\backslash widehat\{OAB\}OAB}}^{}$ .

Vì O'A = O'C nên tam giác O'AC cân tại O, suy ra ${{\mathrm{O\prime AC^\backslash widehat\{O\text{'}AC\}O\prime AC}}^{}}^{}={{\mathrm{O\prime CA^\backslash widehat\{O\text{'}CA\}O\prime CA}}^{}}^{}$ .

Lại có ${\mathrm{OAB^\backslash widehat\{OAB\}OAB}}^{}={{\mathrm{O\prime AB^\backslash widehat\{O\text{'}AB\}O\prime AB}}^{}}^{}$  nên ${\mathrm{OBA^\backslash widehat\{OBA\}OBA}}^{}={{\mathrm{O\prime CA^\backslash widehat\{O\text{'}CA\}O\prime CA}}^{}}^{}$ .

Vậy OB // O'C.