Giải SGK Toán 9 Kết nối tri thức Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Mở đầu: Không sử dụng MTCT, có thể so sánh được hai số $a=3\sqrt{2}$ và $b=2\sqrt{3}$ hay không?

Trả lời:

Ta có $a=3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}$ và $b=2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{12}.$

Vì 18 > 12 nên $\sqrt{18}>\sqrt{12},$ do đó $3\sqrt{2}>2\sqrt{3}$ hay a > b.

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Hoạt động 1: Tính và so sánh $\sqrt{{\left(-3\right)}^2\cdot 25}$ với $\left|-3\right|\cdot \sqrt{25}.$

Trả lời:

Ta có:

⦁ $\sqrt{{\left(-3\right)}^2\cdot 25}=\sqrt{9\cdot 25}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{25}=3\cdot 5=15.$

⦁ $\left|-3\right|\cdot \sqrt{25}=3\cdot 5=15.$

Vậy $\sqrt{{\left(-3\right)}^2\cdot 25}=\left|-3\right|\cdot \sqrt{25}.$

Luyện tập 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{12};$

b) $3\sqrt{27};$

c) $5\sqrt{48}.$

Trả lời:

Luyện tập 2: Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\frac{3}{5}}.$

Trả lời:

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy căn với 5 và đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta được:

 =  = 

Tranh luận: Vuông viết: $\sqrt{{\left(-2\right)}^2\cdot 5}=-2\sqrt{5}.$ Em có đồng ý với cách làm của Vuông không? Vì sao?

Trả lời:

Em không đồng ý với cách làm của vuông, vì: $\sqrt{{\left(-2\right)}^2\cdot 5}=\left|-2\right|\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}.$

$2.\; Đưa\; thừa\; số\; vào\; trong\; dấu\; căn$

Hoạt động 2: Tính và so sánh:

a) $5\cdot \sqrt{4}$ với $\sqrt{5^2\cdot 4};$

b) $-5\cdot \sqrt{4}$ với $-\sqrt{{\left(-5\right)}^2\cdot 4}.$

Trả lời:

Luyện tập 3: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $3\sqrt{5};$

b) $-2\sqrt{7}.$

Trả lời:

a) $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}.$

b) $-2\sqrt{7}=-\sqrt{2^2\cdot 7}=-\sqrt{28}.$

$3.\; Trục\; căn\; thức\; ở\; mẫu$

Hoạt động 3: Nhân cả tử và mẫu của biểu thức $\frac{3a}{2\sqrt{2}}$ với $\sqrt{2}$ và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

Trả lời:

Ta có: 

Hoạt động 4: Cho hai biểu thức $\frac{-2}{\sqrt{3}+1}$ và $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.$ Hãy thực hiện các yêu cầu sau để viết các biểu thức đó dưới dạng không có căn thức ở mẫu:

a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu.

b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu của biểu thức nhận được.

Trả lời:

Luyện tập 4: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) $\frac{-5\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{3}};$

b) $\frac{a^2-2a}{\sqrt{a}+\sqrt{2}}$ (a ≥ 0, a ≠ 2).

Trả lời:

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Luyện tập 5: Rút gọn biểu thức sau: $\left(\frac{\sqrt{22}-\sqrt{11}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{21}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right).$

Trả lời:

Ta có:

$\left(\frac{\sqrt{22}-\sqrt{11}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{21}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right)$

$=\left(\frac{\sqrt{2\cdot 11}-\sqrt{11}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3\cdot 7}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right)$

$=\left(\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{11}-\sqrt{11}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{7}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right)$

$=\left[\frac{\sqrt{11}\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{7}\cdot \left(\sqrt{3}-1\right)}{1-\sqrt{3}}\right]\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right)$

$=\left[\frac{-\sqrt{11}\cdot \left(1-\sqrt{2}\right)}{1-\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{7}\cdot \left(1-\sqrt{3}\right)}{1-\sqrt{3}}\right]\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right)$

$=\left[-\sqrt{11}+\left(-\sqrt{7}\right)\right]\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right)=-\left(\sqrt{11}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{11}\right)$

$=-\left[{\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{11}\right)}^2\right]=-\left(7-11\right)=-\left(-4\right)=4.$

Vận dụng: Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với vận tốc v (m/s) được cho bởi công thức

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$

trong đó m0 (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là vận tốc của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

b) Tính khối lượng m theo m0 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với vận tốc $v=\frac{1}{10}c.$

Trả lời:

Bài tập

Bài 3.17: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{52};$

b) $\sqrt{27a}\left(a\ge 0\right);$

c) $\sqrt{50\sqrt{2}+100};$

d) $\sqrt{9\sqrt{5}-18}.$

Trả lời:

 = 

d)  =

Bài 3.18: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $4\sqrt{3};$

b) $-2\sqrt{7};$

c) $4\sqrt{\frac{15}{2}};$

d) $-5\sqrt{\frac{16}{5}}.$

Trả lời:

a) $4\sqrt{3}=\sqrt{4^2\cdot 3}=\sqrt{48}.$

b) $-2\sqrt{7}=-\sqrt{2^2\cdot 7}=-\sqrt{28}.$

c) $4\sqrt{\frac{15}{2}}=\sqrt{4^2\cdot \frac{15}{2}}=\sqrt{120}.$

d) $-5\sqrt{\frac{16}{5}}=-\sqrt{5^2\cdot \frac{16}{5}}=-\sqrt{80}.$

Bài 3.19: Khử mẫu trong dấu căn:

a) $2a\cdot \sqrt{\frac{3}{5}};$

b) $-3x\cdot \sqrt{\frac{5}{x}}$ (x > 0);

c) $-\sqrt{\frac{3a}{b}}$ (a ≥ 0, b > 0).

Trả lời:

Bài 3.20: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{4+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}};$

b) $\frac{1}{\sqrt{5}-2};$

c) $\frac{3+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}};$

d) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}.$

Trả lời:

c)  = 

Bài 3.21: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}};$

b) $\frac{5\sqrt{48}-3\sqrt{27}+2\sqrt{12}}{\sqrt{3}};$

c) $\frac{1}{3+2\sqrt{2}}+\frac{4\sqrt{2}-4}{2-\sqrt{2}}.$

Trả lời:

a) $2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=2\sqrt{\frac{2\cdot 3}{3^2}}-4\sqrt{\frac{3\cdot 2}{2^2}}$

$=2\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\cdot 6}-4\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot 6}=2\cdot \frac{1}{3}\sqrt{6}-4\cdot \frac{1}{2}\sqrt{6}$

$=\frac{2}{3}\sqrt{6}-2\sqrt{6}=\sqrt{6}\cdot \left(\frac{2}{3}-2\right)=-\frac{4}{3}\sqrt{6}.$

b) $\frac{5\sqrt{48}-3\sqrt{27}+2\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{4^2\cdot 3}-3\sqrt{3^2\cdot 3}+2\sqrt{2^2\cdot 3}}{\sqrt{3}}$

$=\frac{5\cdot 4\sqrt{3}-3\cdot 3\sqrt{3}+2\cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}-9\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$=\frac{\sqrt{3}\left(20-9+4\right)}{\sqrt{3}}=15.$

c) $\frac{1}{3+2\sqrt{2}}+\frac{4\sqrt{2}-4}{2-\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}+\frac{4\left(\sqrt{2}-1\right)}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-\sqrt{2}}$

$=\frac{3-2\sqrt{2}}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}+\frac{4\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}+\frac{4}{\sqrt{2}}$

$=\frac{3-2\sqrt{2}}{1}+\frac{4\sqrt{2}}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=3-2\sqrt{2}+\frac{4\sqrt{2}}{2}$

$=3-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3.$

Bài 3.22: Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+3}-\frac{1}{3-\sqrt{x}}\right)\left(x\ge \mathrm{0,}x\ne 9\right).$

Trả lời: