Giải SGK Toán 9 Kết nối tri thức Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

1. Dây và đường kính của đường tròn

Hoạt động: Xét dây AB tùy ý không đi qua tâm của đường tròn (O; R) (H.5.7). Dựa vào quan hệ giữa các cạnh của tam giác AOB, chứng minh AB < 2R.

Trả lời:

Xét tam giác AOB có: AB < OA + OB (bất đẳng thức tam giác).

Mà OA = OB = R nên AB < 2R.

Luyện tập 1: Cho đường tròn đường kính BC. Chứng minh rằng với điểm A bất kì (khác B và C) trên đường tròn, ta đều có: BC < AB + AC < 2BC.

Trả lời:

Ta có AB+AC>BC

=>AB+BC <2BC

=>BC<AB+AC<2BC

2. Góc ở tâm, cung và số đo của một cung

Câu hỏi: Tại sao số đo cung lớn của một đường tròn luôn lớn hơn 180°?

Trả lời:

Luyện tập 2: Cho điểm C nằm trên đường tròn (O). Đường trung trực của đoạn OC cắt (O) tại A. Tính số đo của các cung $\stackrel{}{ACB}$  và $\stackrel{}{ABC}.$

Trả lời:

Bài tập

Bài 5.5: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M tùy ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn $\frac{AB}{2}.$

Trả lời:

Gọi H là hình chiếu của M trên AB.

Khi đó khoảng cách từ M đến AB bằng độ dài đoạn MH.

Xét tam giác MHO vuông tại H có: MH ≤ MO.

Lại có $OM=\frac{AB}{2}$  (do AB là đường kính, OM là bán kính của đường tròn (O)).

Vậy $MH\le \frac{AB}{2}.$

Bài 5.6: Cho đường tròn (O; 5 cm) và AB là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết AB = 6 cm.

a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.

b) Tính tan α nếu góc ở tâm chắn cung AB bằng 2α.

Trả lời:

Bài 5.7: Tâm O của một đường tròn cách dây AB của nó một khoảng 3 cm. Tính bán kính của đường tròn (O), biết rằng dây cung nhỏ AB có số đo bằng 100° (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trả lời:

Gọi H là trung điểm của AB.

Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là ${\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}=100°$ .

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra ${\mathrm{HOA^\backslash widehat\{HOA\}HOA}}^{}={\mathrm{HOB^\backslash widehat\{HOB\}HOB}}^{}$  (hai góc tương ứng).

Lại có: ${\mathrm{HOA^\backslash widehat\{HOA\}HOA}}^{}+HOB^\backslash widehat\{HOB\}HOB={\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}$  nên $2{\mathrm{HOA^\backslash widehat\{HOA\}HOA}}^{}={\mathrm{AOB^\backslash widehat\{AOB\}AOB}}^{}=100°$  hay ${\mathrm{HOA^\backslash widehat\{HOA\}HOA}}^{}=50°.$

Xét tam giác OAH vuông tại H có: $\cos {\mathrm{HOA^\backslash widehat\{HOA\}HOA}}^{}=\frac{OH}{OA}$ .

Suy ra $OA=\frac{OH}{\cos \widehat{HOA}}=\frac{3}{\cos 50°}\approx 4,7\text{(cm)}.$

Vậy bán kính của đường tròn (O) khoảng 4,7 cm.

Bài 5.8: Trên mặt một chiếc đồng hồ có các vạch chia như Hình 5.12. Hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian 36 phút:

a) Đầu kim phút vạch trên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

b) Đầu kim giờ vạch trên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

Trả lời:

a) Cứ 60 phút kim phút chạy hết 1 vòng đồng hồ, tức là vạch trên 1 cung có số đo bằng 360°.

Mỗi phút kim phút vạch trên một cung có số đo là: $\frac{360°}{60}=6°.$

Như vậy sau 36 phút, kim phút vạch trên 1 cung có số đo bằng: 6° . 36 = 216°.

b) Sau 1 giờ, kim giờ vạch trên 1 cung có số đo bằng: $\frac{360°}{12}=30°.$

Mỗi phút kim giờ vạch trên một cung có số đo là: $\frac{30°}{60}=0,5°.$

Như vậy sau 36 phút, kim giờ vạch trên 1 cung có số đo bằng: 0,5° . 36 = 18°.