Giải SGK Toán 9 Kết nối tri thức Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Mở đầu: Để đo chiều cao của một toà lâu đài (H.4.11), người ta đặt giác kế thẳng đứng tại điểm M. Quay ống ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy đỉnh P’ của toà lâu đài dưới góc nhọn α. Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại điểm N, NM = 20 m, thì nhìn thấy đỉnh P’ dưới góc nhọn β (β < α). Biết chiều cao giác kế là 1,6 m, hãy tính chiều cao của toà lâu đài.

Trả lời:

Xét ∆M’P’H vuông tại H, theo định lí 2, ta có: M’H = P’H.cotα.

Xét ∆N’P’H vuông tại H, theo định lí 2, ta có: N’H = P’H.cotβ.

Mà N’H = N’M’ + M’H = MN + M’H

Do đó P’H.cotβ = MN + P’H.cotα.

Suy ra P’H.(cotβ – cotα) = MN nên $P^{\prime }H=\frac{MN}{cot\beta –cot\alpha }=\frac{20}{cot\beta –cot\alpha }.$

Vì vậy, $P^{\prime }P=P^{\prime }H+HP=\frac{20}{cot\beta –cot\alpha }+\mathrm{1,6}\text{(m).}$

Vậy chiều cao của tòa nhà là $P^{\prime }P=\frac{20}{cot\beta –cot\alpha }+\mathrm{1,6}\text{(m).}$

$\text{1. Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông}$

Hoạt động 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a và các cạnh góc vuông b, c (H.4.12).

a) Viết các tỉ số lượng giác sin, côsin của góc B và góc C theo độ dài các cạnh của tam giác ABC.

b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và các tỉ số lượng giác trên của góc B và góc C.

Trả lời:

a) Ta có: 

b) Ta có: 

+ 

+ 

Luyện tập 1:

1. Một chiếc thang dài 3 m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” 65° (tức là đảm bảo thang chắc chắn khi sử dụng) (H.4.14)?

2. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút)? (H.4.15).

Trả lời:

1. Giả sử trong hình dưới đây, BC là độ dài thang và AB là khoảng cách từ chân thang đến chân tường.

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí 1, ta có:

AB = BC.cosB = 3.cos65° ≈ 1,27 (m).

Vậy cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng 1,27 m để bó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” 65°.

2. Giả sử trong hình vẽ dưới đây, AC là độ rộng của khúc sông và BC là quãng đường con đò đã di chuyển từ bờ bên này sang bờ bên kia.

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác côsin, ta có: $\cos \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{250}{320}=\frac{25}{32}.$

Từ đó tìm được α ≈ 38°37’.

Vậy dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α ≈ 38°37’.

2. Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

Hoạt động 2: Xét tam giác ABC trong Hình 4.16.

a) Viết các tỉ số lượng giác tang, côtang của góc B và góc C theo b, c.

b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh góc vuông kia và các tỉ số lượng giác trên của góc B và góc C.

Trả lời:

Luyện tập 2: Bóng trên mặt đất của một cây dài 25 m. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến dm), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 40° (H.4.18).

Trả lời:

Ta nhận thấy chiều cao h của cây đối diện với góc 40° (góc tạo bởi tia nắng mặt trời và bóng của cây trên mặt đất).

Theo Định lí 2, ta có h = 25.tan40° ≈ 20,9775 (m) = 209,775 (dm) ≈ 210 (dm).

Vậy chiều cao của tháp là khoảng 210 dm.

3. Giải tam giác vuông

Luyện tập 3: Cho tam giác vuông ABC có cạnh góc vuông AB = 4, cạnh huyền BC = 8. Tính cạnh AC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) và các góc B, C (làm tròn đến độ).

Trả lời:

Xét ∆ABC vuông tại A.

Theo định lí Pythagore, ta có:

$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}\approx \mathrm{6,928.}$

Ta có $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$

Từ đó tìm được $\hat{B}=60°,$ suy ra $\hat{C}=90°-\hat{B}=90°-60°=30°.$

Câu hỏi:

1. Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết hai cạnh AB = c, AC = b hoặc AB = c, BC = a và không sử dụng định lí Pythagore (H.4.21).

2. Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết cạnh góc vuông AB (hoặc cạnh huyền BC) và góc B.

Trả lời:

Luyện tập 4: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 9, $\hat{C}=53°.$

Trả lời:

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$(định lí tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\hat{B}=90°-\hat{C}=90°-53°=37°.$

Theo định lí 1, ta có:

⦁ AC = BC.cosC = 9.cos53° ≈ 5,416.

⦁ AB = BC.sinC = 9.sin53° ≈ 7,188.

Vậy ∆ABC có $\hat{A}=90°,\hat{B}=37°,\hat{C}=53°,AB\approx \mathrm{7,188,}AC\approx \mathrm{5,416,}BC=9.$

Vận dụng: Giải bài toán ở tình huống mở đầu với α = 27° và β = 19°.

Trả lời:

Bài tập

Bài 4.8: Giải tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c, trong các trường hợp (góc làm tròn đến độ, độ dài làm tròn đến chữ số hàng đơn vị):

a) a = 21, b = 18;

b) b = 10, $\hat{C}=30°;$

c) c = 5, b = 3.

Trả lời: