Giải SGK Toán 9 Kết nối tri thức Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Mở đầu: Trong Vật lí, quãng đường S (tính bằng mét) của một vật rơi tự do được cho bởi công thức S = 4,9t2, trong đó t là thời gian rơi (tính bằng giây). Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao 122,5 mét?

Trả lời:

Quãng đường vật rơi tự do từ độ cao 122,5 mét đến khi chạm đất là S = 122,5 mét.

Từ công thức S = 4,9t2, suy ra $t^2=\frac{S}{\mathrm{4,9}}$ nên $t=\sqrt{\frac{S}{\mathrm{4,9}}}$ (giây) (do t > 0).

Suy ra $t=\sqrt{\frac{\mathrm{122,5}}{\mathrm{4,9}}}=\sqrt{25}=5$(giây).

Vậy sau 5 giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao 122,5 mét.

1. Căn bậc hai

Hoạt động 1: Tìm các số thực x sao cho x2 = 49.

Trả lời:

Luyện tập 1: Tìm căn bậc hai của 121.

Trả lời:

Ta có $\sqrt{121}=11$ nên 121 có hai căn bậc hai là 11 và –11.

Luyện tập 2: Sử dụng MTCT tìm căn bậc hai của $\frac{7}{11}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Trả lời:

Bấm các phím $\sqrt{}\frac{}{}7▼11=S\iff D$ màn hình hiện kết quả là 0,7977240352.

Bấm máy tính và làm tròn ta được kết quả: 0,80 nên căn bậc hai của là 0,80 và -0,80.

Hoạt động 2: Tính và so sánh $\sqrt{a^2}$ và |a| trong mỗi trường hợp sau:

a) a = 3;

b) a = –3.

Trả lời:

Luyện tập 3:

a) Không sử dụng MTCT, tính: $\sqrt{6^2};\sqrt{{\left(-5\right)}^2};\sqrt{5}-\sqrt{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}.$

b) So sánh 3 với $\sqrt{10}$ bằng hai cách:

– Sử dụng MTCT;

– Sử dụng tính chất của căn bậc hai số học đã học ở lớp 7: Nếu 0 ≤ a < b thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}.$

Trả lời:

a) 

b)

Sử dụng máy tính cầm tay được 

Vậy 3 < 

Cách 2: Ta có 3 = 

Vì .

2. Căn thức bậc hai

Hoạt động 3: Viết biểu thức tính độ dài cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC, biết AC = 3 cm và AC = x cm.

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 32 + x2 = 9 + x2.

Do đó $BC=\sqrt{9+x^2}$(cm) (vì BC > 0).

Vậy $BC=\sqrt{9+x^2}$(cm).

Hoạt động 4: Cho biểu thức $C=\sqrt{2x-1}.$

a) Tính giá trị của biểu thức tại x = 5.

b) Tại x = 0 có tính được giá trị của biểu thức không? Vì sao?

Trả lời:

Luyện tập 4: Cho căn thức $\sqrt{5-2x}.$

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.

b) Tính giá trị của căn thức tại x = 2.

Trả lời:

a) Điều kiện xác định của căn thức là 5 – 2x ≥ 0 hay –2x ≥ –5, suy ra $x\le \frac{5}{2}.$

b) Tại x = 2 (thỏa mãn điều kiện xác định), căn thức có giá trị là $\sqrt{5-2\cdot 2}=\sqrt{1}=1.$

Luyện tập 5:

a) Rút gọn biểu thức $x\sqrt{x^6}\left(x<0\right).$

b) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức $x+\sqrt{4x^2-4x+1}$ tại x = –2,5.

Trả lời:

Vận dụng: Trở lại tình huống mở đầu.

a) Viết công thức tính thời gian t (giây) cần thiết để vật rơi được quãng đường S (mét).

b) Sử dụng công thức tìm được trong câu a, hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Trả lời:

a) Từ công thức S = 4,9t2, suy ra $t^2=\frac{S}{\mathrm{4,9}}$ nên $t=\sqrt{\frac{S}{\mathrm{4,9}}}$ (giây) (do t > 0).

Vậy công thức tính thời gian t (giây) cần thiết để vật rơi được quãng đường S (mét) là $t=\sqrt{\frac{S}{\mathrm{4,9}}}$(giây).

b) Quãng đường vật rơi tự do từ độ cao 122,5 mét đến khi chạm đất là 122,5 mét.

Theo câu a, ta có $t=\sqrt{\frac{S}{\mathrm{4,9}}}$(giây).

Suy ra $t=\sqrt{\frac{\mathrm{122,5}}{\mathrm{4,9}}}=\sqrt{25}=5$(giây).

Vậy sau 5 giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao 122,5 mét.

Bài tập

Bài 3.1: Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) 24,5;

b) $\frac{9}{10}.$

Trả lời:

Sử dụng MTCT:

a) Bấm các phím $\sqrt{}24,5=S\iff D$ màn hình hiện kết quả là 4,949747468.

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được $\sqrt{\mathrm{24,5}}\approx \mathrm{4,95.}$

Vậy số 24,5 có hai căn bậc hai là 4,95 và –4,95.

b) Bấm các phím $\sqrt{}\frac{}{}9▼10=S\iff D$màn hình hiện kết quả là 0,9486832981.

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được $\sqrt{\frac{9}{10}}\approx \mathrm{0,95.}$

Vậy số $\frac{9}{10}$ có hai căn bậc hai là 0,95 và –0,95.

Bài 3.2: Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng 2 m2. Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?

Trả lời:

Bài 3.3: Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{x+10}$ và tính giá trị của căn thức tại x = –1.

Trả lời:

Điều kiện xác định của là x + 

Thay x = -1 vào căn thức ta được 

Bài 3.4: Tính: $\sqrt{{\mathrm{5,1}}^2};\sqrt{{\left(-\mathrm{4,9}\right)}^2};-\sqrt{{\left(-\mathrm{0,001}\right)}^2}.$

Trả lời:

Ta có:

$\sqrt{{\mathrm{5,1}}^2}=\left|\mathrm{5,1}\right|=\mathrm{5,1.}$

$\sqrt{{\left(-\mathrm{4,9}\right)}^2}=\left|-\mathrm{4,9}\right|=\mathrm{4,9.}$

$-\sqrt{{\left(-\mathrm{0,001}\right)}^2}=-\left|-\mathrm{0,001}\right|=-\mathrm{0,001.}$

Bài 3.5: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^2};$

b) $3\sqrt{x^2}-x+1\left(x<0\right);$

c) $\sqrt{x^2-4x+4}\left(x<2\right).$

Trả lời:

Bài 3.6: Không dùng MTCT, chứng tỏ biểu thức A có giá trị là số nguyên: $A=\sqrt{{\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2}-\sqrt{{\left(1-2\sqrt{2}\right)}^2}.$

Trả lời:

Ta có:

$A=\sqrt{{\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2}-\sqrt{{\left(1-2\sqrt{2}\right)}^2}=\left|1+2\sqrt{2}\right|-\left|1-2\sqrt{2}\right|$

$=1+2\sqrt{2}-\left(2\sqrt{2}-1\right)=1+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1=2.$

Vậy giá trị của biểu thức A là số nguyên.