Giải SGK Toán 9 Kết nối tri thức Bài 13: Mở đầu về đường tròn

Mở đầu: Bạn Oanh có một mảnh giấy hình tròn nhưng không còn dấu vết của tâm. Theo em, Oanh làm thế nào để tìm lại được tâm của hình tròn đó.

Trả lời:

- Oanh chỉ cần gấp đôi mảnh giấy lại. Làm như thế hai lần, giao điểm của hai nếp gấp sẽ là tâm của hình tròn cần tìm.

1. Đường tròn

Luyện tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn đường kính BC.

Trả lời:

Gọi O là trung điểm của BC.

Ta có AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $OA=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Suy ra A, B, C cùng thuộc đường tròn bán kính OA.

Tâm O là trung điểm của BC nên BC là đường kính.

Vậy điểm A thuộc đường tròn đường kính BC.

Vận dụng 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(3; 0), B(−2; 0), C(0; 4). Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn (O; 3)?

Trả lời:

- Từ hình vẽ trên ta thấy: Điểm A nằm trên đường tròn, điểm B nằm trong đường tròn, điểm C nằm ngoài đường tròn.

2. Tính đối xứng của đường tròn

Hoạt động: Chứng minh rằng nếu một điểm thuộc đường tròn (O) thì:

a) Điểm đối xứng với nó qua tâm O cũng thuộc (O).

b) Điểm đối xứng với nó qua một đường thẳng d tùy ý đi qua O cũng thuộc (O).

Trả lời:

a) 

Gọi M là điểm thuộc đường tròn (O).M' là điểm đối xứng với M qua tâm O. Chứng minh:

OM = OM' (tính chất đối xứng qua tâm)

O là trung điểm của MM'

Suy ra:

M' thuộc đường tròn (O) (định nghĩa đường tròn)

b)

Gọi M là điểm thuộc đường tròn (O).

M' là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d.

Chứng minh:

OM = OM' (tính chất đối xứng qua đường thẳng)

O là trung điểm của MM'

Suy ra:

M' thuộc đường tròn (O) (định nghĩa đường tròn)

Luyện tập 2: Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B thuộc (O). Gọi d là đường trung trực của đoạn AB. Chứng minh rằng d là một trục đối xứng của (O).

Trả lời:

Vì hai điểm A, B thuộc (O) nên OA = OB.

Mà d là đường trung trực của đoạn AB nên nên O thuộc d.

Hay đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn.

Vậy d là một trục đối xứng của (O).

Vận dụng 2: Trở lại tình huống mở đầu, bằng cách gấp mảnh giấy hình tròn theo hai cách khác nhau, Oanh có thể tìm được tâm của hình tròn. Em hãy làm thử xem.

Trả lời:

- Gấp đôi hình tròn sao cho mép giấy của chúng đè khít lên nhau, ta miết phần ngăn cách hai nửa hình tròn ta được 1 đường kính, tiếp theo mở tờ giấy và gấp theo hướng khác, ta làm như vậy và xác định được đường kính mới, hai đường kính này cắt nhau tại tâm của hình tròn.

Bài tập

Bài 5.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M (0; 2), N (0; −3) và P(2; −1). Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn $\left(O;\sqrt{5}\right)?$ Vì sao?

Trả lời:

Ta có: $OM=2<\sqrt{5}$  nên điểm M nằm trong đường tròn $\left(O;\sqrt{5}\right)$ .

$ON=3>\sqrt{5}$ nên điểm N nằm ngoài đường tròn $\left(O;\sqrt{5}\right)$ .

Mặt khác, OP2 = 22 + 12 = 5 (theo định lí Pythagore).

Suy ra $OP=\sqrt{5}$  nên điểm P nằm trên đường tròn $\left(O;\sqrt{5}\right)$ .

Vậy trong các điểm đã cho, điểm P nằm trên, điểm M nằm trong, điểm N nằm ngoài đường tròn $\left(O;\sqrt{5}\right)$ .

Bài 5.2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Chứng minh rằng các điểm A, B, C thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Trả lời:

Gọi O là trung điểm của BC

=>OB=OC

ΔABC vuông tại A=>OA=OB=OC

=>A,B,C cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính OA

Áp dụng định lí Pitago cho ΔABC vuông tại A

=>BC===5 cm

=>OA=BC:2=5:2=2,5cm

Vậy bán kính của đường tròn đó là 2,5cm

Bài 5.3: Cho đường tròn (O), đường thẳng d đi qua O và điểm A thuộc (O) nhưng không thuộc d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua d, C và D lần lượt là điểm đối xứng với A và B qua O.

a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) hay không? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.

Trả lời:

a) Ta có d là là đường thẳng đi qua tâm O nên d là trục đối xứng của đường tròn

Vì A thuộc (O) và B là điểm đối xứng của A qua d nên B cũng thuộc (O).

Vì C, D lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O nên C, D cũng thuộc (O).

b) C đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AC

D đối xứng với B qua O nên O là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O, và BD = AC ( bằng 2 lần bán kính (O))

Nên ABCD là hình chữ nhật.

c) ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD, mà  AB ⊥ d nên d ⊥ CD

Xét tam giác OCD có OC = OD nên tam giác OCD cân tại O mà đường thẳng d là đường cao của tam giác OCD nên d cũng là trung trực của CD. Hay C và D đối xứng nhau qua đường thẳng d.

Bài 5.4: Cho hình vuông ABCD có E là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh rằng chỉ có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm.

Trả lời:

a) Ta có ABCD là hình vuông, giao điểm của hai đường chéo tại E.

=>EA=EB=EC=ED

Vậy có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D với tâm E bán kính EA

Tâm đối xứng E

Trục đối xứng: AC; BD

b) Hình vuông có cạnh bằng 3cm=>AB=BC=CD=DA=3cm

Độ dài đường chéo là:

AC==3cm

=>EA=

Vậy bán kính của hình tròn đó là cm