Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức Bài 11: Định lí và chứng minh định lí

Mở đầu: Trong Bài 10, ta đã dùng cách đo đạc để kiểm nghiệm tính chất sau là đúng: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau” (H.3.45). Tuy nhiên, đo đạc chỉ cho ta kết quả gần đúng và chỉ trong một trường hợp cụ thể. Vậy có cách nào để chắc chắn rằng tính chất đó đúng cho mọi trường hợp không?

Lời giải:

Chứng minh:

Qua điểm B kẻ đường thẳng b' sao cho $\widehat{B_2}=\widehat{A_1}.$

Khi đó đường thẳng c tạo với hai đường thẳng a và b' hai góc đồng vị bằng nhau $\widehat{A_1}=\widehat{B_2}.$

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ta có a và b' song song với nhau. Suy ra qua B có hai đường thẳng b, b' cùng song song với a. Theo tiên đề Euclid, b' trùng b. Từ đó suy ra $\widehat{B_1}=\widehat{A_1}$ (vì cùng bằng $\widehat{B_2}$).

Định lí. Giả thuyết và kết luận của định lí

Luyện tập 1: Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận của định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”.

Lời giải:

Giả thiết : O1ˆ và O2ˆ đối đỉnh

Kết luận : O1ˆ = O2ˆ

Luyện tập 2: Em hãy chứng minh định lí: “Hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông”.

Lời giải:

Chứng minh:

Do ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}$ và $\widehat{yOz}$ là hai góc kề bù nên $xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy+{\mathrm{yOz^\backslash widehat\{yOz\}yOz}}^{}=180°.$

Mà ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}={\mathrm{yOz^\backslash widehat\{yOz\}yOz}}^{}$ nên ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}+yOz^\backslash widehat\{yOz\}yOz=2{\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}=180°$

Do đó ${\mathrm{xOy^\backslash widehat\{xOy\}xOy}}^{}={\mathrm{yOz^\backslash widehat\{yOz\}yOz}}^{}=90°.$

Vậy hai góc kề bù bằng nhau thì mỗi góc là một góc vuông.

Tranh luận: Hình tròn: Hai góc đối đỉnh thì chắc chắn bằng nhau rồi. Liệu hai góc bằng nhau thì có đối đỉnh không nhỉ? Hình vuông: Tớ nghĩ đó là điều không đúng! Nhưng làm thế nào để khẳng định điều đó không đúng nhỉ? Em có ý kiến gì về hai ý kiến trên?

Lời giải:

Em thấy bạn Vuông nói đúng

Để chứng minh điều này, ta có thể chỉ ra trường hợp 2 góc bằng nhau nhưng không đối đỉnh.

Ví dụ:

Bài tập

Bài 3.24: Có thể coi định lí “ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song không? Suy ra như thế nào?

Lời giải:

- Định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau” có thể được suy ra trực tiếp từ định lí về dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Trong hình vẽ trên, ta có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c.

Giao điểm của hai đường thẳng a và b với đường thẳng c lần lượt là A và B.

Do đường thẳng a và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c nên $\widehat{aAc}=\widehat{bBc}=90°.$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên a song song với b.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 3.25: Hãy chứng minh định lí nói ở Ví dụ trang 56: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”. Trong chứng minh đó ta đã sử dụng những điều đúng đã biết nào?

Lời giải:

Giả thiết : a//b; a ⊥ c

Kết luận : b ⊥ c

Vì a//b nên 2 góc đồng vị A1ˆ và B1ˆ bằng nhau, mà A1ˆ = 90∘ nên B1ˆ = 90∘=> b⊥c

Trong chứng minh trên, ta đã sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song.

Bài 3.26: Cho góc xOy không phải góc bẹt. Khẳng định nào sau đây là đúng?

(1) Nếu Ot là tia phân giác của góc xOy thì ${\mathrm{xOt^\backslash widehat\{xOt\}xOt}}^{}={\mathrm{xOt^\backslash widehat\{xOt\}tOy}}^{}.$

(2) Nếu tia Ot thỏa mãn ${\mathrm{xOt^\backslash widehat\{xOt\}xOt}}^{}={\mathrm{xOt^\backslash widehat\{xOt\}tOy}}^{}$ thì Ot là tia phân giác của góc xOy.

Nếu có khẳng định không đúng, hãy nêu ví dụ cho thấy khẳng định đó không đúng.

(Gợi ý: Xét tia đối của một tia phân giác).

Lời giải: