Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Mở đầu: Trái Đất, ngôi nhà chung của tất cả chúng ta có khoảng 71% diện tích bề mặt được bao phủ bởi nước. Nếu gom hết toàn bộ lượng nước trên Trái Đất để đổ đầy vào một bể chứa hình lập phương thì kích thước cạnh của bể phải lên tới 1111,34 km.

(Theo usgs.gov)

Muốn biết lượng nước trên Trái Đất là khoảng bao nhiêu kilômét khối, ta cần tính

1111,34 ×1111,34 ×1111,34. Biểu thức này có thể viết gọn hơn dưới dạng lũy thừa giống như lũy thừa của một số tự nhiên mà em đã học ở lớp 6.

Lời giải:

1111,34 × 1111,34 × 1111,34 = 1111,343.

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Hoạt động 1: Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa rồi chỉ ra cơ số và số mũ của lũy thừa đó.

a) 2.2.2.2;

b) 5.5.5.

Lời giải:

a) 2.2.2.2 = 24.

Cơ số 2, số mũ 4.

b) 5.5.5 = 53.

Cơ số 5, số mũ 3.

Hoạt động 2: Thực hiện phép tính:

a) (–2). (–2). (–2);

b) (–0,5). (–0,5);

c) $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.$

Lời giải:

a) (-2).(-2).(-2) = -8

b)  (-0,5).(-0,5) = 0,25

c) 12 . 12 . 12 . 12 = 116

Hoạt động 3: Hãy viết các biểu thức trong hoạt động 2 dưới dạng lũy thừa tương tự như lũy thừa của số tự nhiên.

Lời giải:

a) (–2).(–2).(–2) = (–2)3.

b) (–0,5).(–0,5) = (–0,5)2.

c) $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4.$

Luyện tập 1: Tính:

a) ${\left(-\frac{4}{5}\right)}^4;$

b) (0,7)3.

Lời giải:

Luyện tập 2: Tính:

a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{10}{.3}^{10};$

b) (–125)3 : 253; 

c) (0,08)3.103.

Lời giải:

a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{10}{.3}^{10}={\left(\frac{2}{3}.3\right)}^{10}=2^{10}$.

b) (–125)3 : 253 = (–125 : 25)3 = (–5)3 = –125.

c) (0,08)3.103  = (0,08 . 10)3 = (0,8)3 = 0,512.

Vận dụng: Viết công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh a dưới dạng lũy thừa. Từ đó viết biểu thức lũy thừa để tính toàn bộ lượng nước trên Trái Đất trong bài toán mở đầu (đơn vị kilômét khối).

Lời giải:

Công thức tính thể tích của hình lập phương cạnh a là: a3.

Biểu thức tính toàn bộ lượng nước trên Trái Đất là: 1111,343 (kilômét khối).

Vậy lượng nước trên Trái Đất là 1111,343 kilômét khối.

2. Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

Hoạt động 4: Tính và so sánh:

a) (–3)2.(–3)4 và (–3)6;

b) 0,63 : 0,62 và 0,6.

Lời giải:

Luyện tập 3: Viết kết quả của các phép tính sau dưới dạng lũy thừa.

a) (–2)3.( –2)4;                 b) (0,25)7 : (0,25)3.

Lời giải:

a) (–2)3.( –2)4 = (–2)3+4 = (–2)7.

b) (0,25)7 : (0,25)3 = (0,25)7 – 3 = (0,25)4.

3. Lũy thừa của lũy thừa

Hoạt động 5: Viết số ${\left(2^2\right)}^3$ dưới dạng lũy thừa cơ số 2 và số ${\left[{\left(-3\right)}^2\right]}^2$ dưới dạng lũy thừa cơ số –3.

Lời giải:

${\left(2^2\right)}^3$= 22. 22. 22 = 22+2+2 = 26.

${\left[{\left(-3\right)}^2\right]}^2$ = (–3)2. (–3)2 = (–3)2+2 = (–3)4.

Luyện tập 4: Viết các số ${\left(\frac{1}{4}\right)}^8;{\left(\frac{1}{8}\right)}^3$ dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{1}{2}.$

Lời giải:

Thử thách nhỏ: Cho hình vuông như Hình 1.12. Em hãy thay mỗi dấu “?” bằng một lũy thừa của 2, biết tích các lũy thừa trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.

Lời giải:

Đặt các ô lần lượt là a, b, c, d, e như hình sau:

Do tích các lũy thừa trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều như nhau nên tích các lũy thừa trên mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo là: 23.24.25 = 23+4+5 = 212.

Có e.26.25 = 212 hay e.211 = 212, khi đó e = 212 : 211 = 212 – 11 = 21.

Có 23.c.e = 212 hay 23.c.2 = 212 hay c.23+1 = 212 hay c.24 = 212, khi đó c = 212 : 24 = 212 – 4 = 28.

Có a.24.26 = 212 hay a.210 = 212, khi đó a = 212 : 210 = 212 – 10 = 22.

Có 23.a.b = 212 hay 23.22.b = 212 hay 23+2.b = 212 hay 25.b = 212, khi đó b = 212 : 25 = 212 – 5 = 27.

Có c.24.d = 212 hay 28.24.d = 212 hay 28+4.d = 212, khi đó d = 212 : 212 = 212 – 12 = 20.

Ta có bảng như sau:

Bài tập

Bài 1.18: Viết các số 125; 3125 dưới dạng lũy thừa của 5.

Lời giải:

125 = 5.5.5 = 53.

3125 = 5.5.5.5.5 = 55.

Bài 1.19: Viết các số ${\left(\frac{1}{9}\right)}^5;{\left(\frac{1}{27}\right)}^7$ dưới dạng lũy thừa cơ số $\frac{1}{3}.$

Lời giải:

Bài 1.20: Thay mỗi dấu “?” bởi một lũy thừa của 3, biết rằng từ ô thứ ba, lũy thừa cần tìm là tích của hai lũy thừa ở hai ô liền trước.

Lời giải:

Gọi các số cần điền ở ô thứ ba, ô thứ tư, ô thứ năm, ô thứ sáu và ô thứ bảy lần lượt là a, b, c, d, e.

Theo quy tắc trên ta có:

a = 30.31 = 30+1 = 31;

b = 31.31 = 31+1 = 32;

c = 31.32 = 31+2 = 33;

d = 32.33 = 32+3 = 35;

e = 33.35 = 33+5 = 38.

Khi đó ta có bảng sau:

Bài 1.21: Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) (–3)8, biết (–3)7 = –2187;     

b) ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^{12},$ biết ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^{11}=\frac{-2048}{177147}.$

Lời giải:

a) (−3)8 = (−3)7+1 = (−3)7 . (−3) = (−2187) . (−3) = 6 561.

b) (−23)12 = (−23)11+1 = (−23)11 . (−23) = −2048177147 . −23 = 4096531441

Bài 1.22: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.

a) 158.24;                        b) 275 : 323.

Lời giải:

a) 158.24 $={\left({15}^2\right)}^4{.2}^4={\left({15}^2.2\right)}^4={450}^4.$

b) 275 : 323$=\frac{{27}^5}{{32}^3}=\frac{{\left(3^3\right)}^5}{{\left(2^5\right)}^3}=\frac{3^{15}}{2^{15}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{15}.$

Bài 1.23: Tính:

a) ${\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)}^2.\left(2+\frac{3}{7}\right);$

b) $4:{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)}^3.$

Lời giải:

Bài 1.24: Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời bằng khoảng 1,5.108 km. Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời khoảng 7,78.108 km. Hỏi khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng bao nhiêu lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời?

(Theo solarsystem.nasa.gov)

Lời giải:

Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng số lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là:

7,78 . 108 : (1,5.10)8 = 7,78.1081,5.108 = 7,7815 = 778150 = 38975 (lần)

Bài 1.25: Bảng thống kê dưới đây cho biết số lượng khách quốc tế đến thăm Việt Nam trong năm 2019.

(Theo Viện Nghiên cứu Phát triển Du lịch)

Em hãy sắp xếp tên các quốc gia theo thứ tự số lượng khách đến thăm Việt Nam từ nhỏ đến lớn.

Lời giải:

Ta có: 4,3.106 = 4,3.105+1 = 4,3.105.10 = 4,3.10.105 = 43.105;

7.104 = 0,7.10.104 = 0,7.105.

Do 0,7 < 2,9 < 7,4 < 43 nên 0,7.105 < 2,9.105 < 7,4.105 < 43.105.

Vậy các quốc gia theo thứ tự số lượng khách đến thăm Việt Nam từ nhỏ đến lớn là: Ý, Pháp, Hoa Kì, Hàn Quốc.