Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Mở đầu: Trong thực tế, nhiều khi ta không thể đo được hết các cạnh của hai tam giác để khẳng định được chúng có bằng nhau hay không. Khi đó, có cách nào khác giúp ta biết được điều đó?

Lời giải:

Chúng ta có thêm 2 cách khác để chứng minh hai tam giác bằng nhau như sau:

- Cách 1: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Cách 2: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

1. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh (C-G-C)

Hoạt động 1: Vẽ ${\mathrm{xAy^\backslash widehat\{xAy\}xAy}}^{}=60°.$ Lấy điểm B trên tia Ax và điểm C trên tia Ay sao cho: AB = 4 cm, AC = 3 cm.

Nối điểm B với điểm C ta được tam giác ABC (H.4.27). Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC của tam giác ABC.

Lời giải:

- Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh BC ta được: BC=3,6cm.

Hoạt động 2: Vẽ thêm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $\stackrel{}{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=60°,A^{\prime }{B}^{\prime }=4cm$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }=3cm$ (H.4.28).

Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa để so sánh độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác ABC và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.$

- Hai tam giác ABC và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có bằng nhau không?

- Độ dài các cạnh BC và B'C'của hai tam giác em vừa vẽ có bằng các cạnh BC và B'C' của hai tam giác các bạn khác vẽ không?

- Hai tam giác em vừa vẽ có bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ không?

Lời giải:

- Độ dài các cạnh tương ứng của 2 tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.

- Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau.

- Độ dài các cạnh AB' và AC' của hai tam giác em vừa vẽ có bằng các cạnh AB' và AC' của hai tam giác các bạn khác vẽ.

- Hai tam giác em vừa vẽ có bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ.

Câu hỏi: Trong Hình 4.29, hai tam giác nào bằng nhau?

Lời giải:

Hai tam giác DEF và GHK có góc D không phải góc xen giữa hai cạnh EF, FD và góc G không phải góc xen giữa hai cạnh GH, HK nên ta không thực hiện xét hai tam giác này.

Xét hai tam giác ABC và MNP có:

AB = MN (theo giả thiết).

${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}={\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}NMP}}^{}$ (theo giả thiết).

AC = MP (theo giả thiết).

Do đó $\Delta ABC=\Delta MNP$ (c – g – c).

Luyện tập 1: Hai tam giác ABC và MNP trong Hình 4.31 có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Xét tam giác MNP , ta có :

Mˆ = 180∘−50∘−70∘= 60∘

Xét 2 tam giác ABC và MNP có :

Aˆ = Mˆ

AC=MP , AB= MN

=> 2 tam giác ABC = MNP (c-g-c)

Vận dụng: Cho Hình 4.32, biết ${\mathrm{OAB^\backslash widehat\{OAB\}OAB}}^{}=\stackrel{}{}OAB^\backslash widehat\{OAB\}ODC,$ OA = OD và AB = CD. Chứng minh rằng:

a) AC = DB;

b) $\Delta OAC=\Delta O\text{DB.}$

Lời giải:

2. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (G-C-G)

Hoạt động 3: Vẽ đoạn thẳng BC = 3 cm. Vẽ hai tia Bx và Cy sao cho ${\mathrm{xBC^\backslash widehat\{xBC\}xBC}}^{}=80°,{\mathrm{xBC^\backslash widehat\{xBC\}yCB}}^{}=40°$ như Hình 4.33.

Lấy giao điểm A của hai tia Bx và Cy, ta được tam giác ABC (H.4.33). Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài hai cạnh AB, AC của tam giác ABC.

Lời giải:

- Dùng thước thẳng có vạch chia, ta đo được độ dài cạnh AB xấp xỉ 2,2 cm và độ dài cạnh AC xấp xỉ 3,4 cm.

Hoạt động 4: Vẽ thêm tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sao cho $B^{\prime }{C}^{\prime }=3cm,\stackrel{}{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=80°,\stackrel{}{A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=40°$ (H.4.34).

Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa so sánh độ dài các cạnh của hai tam giác ABC và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }.$ Hai tam giác ABC và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có bằng nhau không?

Lời giải:

A’B’=2,2 cm

A’C’=3,4 cm

ΔABC = ΔA′B′C′

Câu hỏi: Hai tam giác nào trong Hình 4.35 bằng nhau?

Lời giải:

Luyện tập 2: Chứng minh hai tam giác ABD và CBD trong Hình 4.37 bằng nhau.

Lời giải:

Xét hai tam giác ABD và CBD có:

${\mathrm{ABD^\backslash widehat\{ABD\}ABD}}^{}=\stackrel{}{}$$\widehat{ABD}$ (theo giả thiết).

BD chung.

${\mathrm{ABD^\backslash widehat\{ABD\}ADB}}^{}={\mathrm{ABD^\backslash widehat\{ABD\}ADB}}^{}$ (theo giả thiết).

Vậy $\Delta AB\text{D}=\Delta CB\text{D}$ (g – c – g).

Thử thách nhỏ: Bạn Lan nói rằng: “Nếu tam giác này có một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện tương ứng bằng một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” (H.4.38). Theo em bạn Lan nói có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Bạn Lan nói đúng vì : Áp dụng định lý tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180∘. Mà 2 trong 3 góc của 2 tam giác là bằng nhau thì góc còn lại cũng bằng nhau.

Tức là : Cˆ= C′ˆ

Vậy ΔABC = ΔA'B'C' ( g-c-g)

Bài tập

Bài 4.12: Trong mỗi hình bên (H.4.39), hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Lời giải:

Bài 4.13: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như Hình 4.40.

a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau.

b) Chứng minh rằng $\Delta DAB=\Delta BC\text{D}.$

Lời giải:

a) Xét hai tam giác AOD và COB có:

OA = OC (theo giả thiết).

${\mathrm{AOD^\backslash widehat\{AOD\}AOD}}^{}={\mathrm{AOD^\backslash widehat\{AOD\}COB}}^{}$ (2 góc đối đỉnh).

OD = OB (theo giả thiết).

Vậy $\Delta AO\text{D}=\Delta COB$ (c – g – c).

Xét hai tam giác AOB và COD có:

OA = OC (theo giả thiết).

${\mathrm{AOD^\backslash widehat\{AOD\}AOB}}^{}=\stackrel{}{}$$\widehat{AOD}$ (2 góc đối đỉnh).

OB = OD (theo giả thiết).

Vậy $\Delta AOB=\Delta CO\text{D}$ (c – g – c).

b) Do $\Delta AO\text{D}=\Delta COB$ nên AD = BC (2 cạnh tương ứng).

Do $\Delta AOB=\Delta CO\text{D}$ nên AB = CD (2 cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác DAB và BCD có:

AD = BC (chứng minh trên).

AB = CD (chứng minh trên).

BD chung.

Vậy $\Delta DAB=\Delta BC\text{D}$ (c – c – c).

Bài 4.14: Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BCE trong Hình 4.41 bằng nhau.

Lời giải:

Bài 4.15: Cho đoạn thẳng AB song song và bằng đoạn thẳng CD như Hình 4.42. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Hai điểm G và H lần lượt nằm trên AB và CD sao cho G, E, H thẳng hàng. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABE=\Delta DCE;$

b) EG = EH.

Lời giải: