Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Mở đầu: Kiến trúc sư vẽ bản thiết kế ngôi nhà hình tam giác theo tỉ lệ 1 : 100. Biết rằng ngôi nhà cao 5 m, bề ngang mặt sàn rộng 4 m và hai mái nghiêng như nhau. Theo em, bản thiết kế làm thế nào để xác định được chính xác điểm C thể hiện đỉnh ngôi nhà?

Lời giải:

Điểm C cần dựng là điểm thỏa mãn cách đoạn thẳng AB một đoạn bằng 5cm và $\widehat{ABC}=\widehat{CAB}$ (2 mái nghiêng như nhau). Do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Cách dựng như sau:

Bước 1. Lấy điểm M là trung điểm của đoạn AB.

Bước 2. Kẻ tia Mx vuông góc với AB tại M.

Bước 3. Vẽ đường tròn tâm M, bán kính 5 cm, đường tròn cắt tia Mx tại điểm C.

Chứng minh:

 Điểm C thỏa mãn cách đoạn thẳng AB một đoạn bằng 5cm.

Xét tam giác CMA vuông tại M và tam giác CMB vuông tại M có:

AM = MB (theo cách dựng).

CM chung.

Suy ra $\Delta CMA=\Delta CMB$ (2 cạnh góc vuông).

Do đó ${\mathrm{CBM^\backslash widehat\{CBM\}CBM}}^{}={\mathrm{CBM^\backslash widehat\{CBM\}CAM}}^{}$ (2 góc tương ứng) hay ${\mathrm{CBM^\backslash widehat\{CBM\}ABC}}^{}={\mathrm{CBM^\backslash widehat\{CBM\}CAB}}^{}$.

1. Tam giác cân và tính chất

Câu hỏi: Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam giác cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Lời giải:

Tam giác ABD cân tại đỉnh A có:

• AB, AD là 2 cạnh bên
• BD là cạnh đáy
• Bˆ; Dˆ là 2 góc ở đáy
• Aˆ là góc ở đỉnh

Tam giác ADC cân tại A có:

• AC, AD là 2 cạnh bên
• DC là cạnh đáy
• Cˆ; Dˆ là 2 góc ở đáy
• Aˆ là góc ở đỉnh

Tam giác ABC cân tại A có:

• AB, AC là 2 cạnh bên
• BC là cạnh đáy
• Cˆ; Bˆlà 2 góc ở đáy
• Aˆlà góc ở đỉnh

Hoạt động 1: Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình 4.60. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Chứng minh rằng $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D}$ theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

Lời giải:

Hoạt động 2: Cho tam giác MNP có $\hat{M}=\hat{N}.$ Vẽ tia phân giác PK của góc MPN ($K\in MN$).

Chứng minh rằng:

a) ${\mathrm{MKP^\backslash widehat\{MKP\}MKP}}^{}={\mathrm{MKP^\backslash widehat\{MKP\}NKP}}^{};$

b) $\Delta MPK=\Delta NPK;$

c) Tam giác MNP có cân tại P không?

Lời giải:

Luyện tập 1: Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết của tam giác DEF trong Hình 4.62.

Lời giải:

Thử thách nhỏ: Một tam giác có gì đặc biệt nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau.

b) Tam giác cân có một góc bằng 60o.

Lời giải:

a)

Xét tam giác ABC có $\hat{A}=\hat{B}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC (1).

Xét tam giác ABC có $\hat{B}=\hat{C}$ nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC (2).

Từ (1) và (2) có AB = BC = AC.

Lại có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.

b)

Trường hợp 1. Xét góc 60o là góc ở đỉnh.

Tam giác ABC cân tại A nên $\hat{B}=\hat{C}.$

Do đó $\hat{B}+\hat{C}=2\hat{B}.$

Xét tam giác ABC có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°.$

Khi đó $\hat{A}+2\hat{B}=180°.$

Do đó $2\hat{B}=180°-\hat{A}=180°-60°=120°.$

Do đó $\hat{B}=\hat{C}=60°.$

Tam giác ABC có $\hat{A}=\hat{B}=60°$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC.

Mà AB = AC nên AB = BC = AC.

Lại có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Trường hợp 2. Xét góc 60o là góc ở đáy.

Tam giác ABC cân tại A nên $\hat{B}=\hat{C}.$

Do đó $\hat{C}=60°.$

Xét tam giác ABC có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°.$

Do đó

$\hat{A}=180°-\hat{B}-\hat{C}=180°-60°-60°=60°.$

Tam giác ABC có $\hat{A}=\hat{B}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC.

Mà AB = AC nên AB = BC = AC.

Lại có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Từ hai trường hợp trên ta thấy tam giác cân có một góc bằng 60o là tam giác đều.

Vậy tam giác cân có một góc bằng 60o là tam giác đều.

2. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Hoạt động 3: Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB.

Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau.

Mở mảnh giấy ra, kẻ đường thẳng d theo nếp gấp.

a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Lời giải:

a) O có là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) Dùng thước đo góc ta thấy d có vuông góc với AB.

Câu hỏi: Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Lời giải:

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó

=> hình a) Lan vẽ đúng.

Hoạt động 4: Trên mảnh giấy trong Hoạt động 3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).

Lời giải:

Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo được AM = BM.

Luyện tập 2: Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3 cm và ${\mathrm{MAB^\backslash widehat\{MAB\}MAB}}^{}=60°$ (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.

Lời giải:

Do M nằm trên đường trung trực của AB nên MA = MB = 3 cm.

Tam giác MAB có MA = MB nên tam giác MAB cân tại M.;

Do đó ${\mathrm{MAB^\backslash widehat\{MAB\}MAB}}^{}={\mathrm{MAB^\backslash widehat\{MAB\}MBA}}^{}=60°.$

Vậy BM = 3 cm, ${\mathrm{MAB^\backslash widehat\{MAB\}MBA}}^{}=60°.$

Thực hành: Sử dụng thước thẳng và compa để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB như sau:

- Vẽ đoạn thẳng AB;

- Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn (bán kính lớn hơn $\frac{AB}{2}$), sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn có cùng bán kính, sao cho hai cung tròn này cắt nhau tại hai điểm M và N;

- Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng MN. Khi đó MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB (H.4.68).

Lời giải:

Thực hiện vẽ theo các bước như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB (giả sử AB = 4 cm).

Bước 2. Khi đó $\frac{AB}{2}=2cm.$

Từ A vẽ cung tròn tâm A bán kính 3 cm (tùy ý).

Từ B vẽ cung tròn tâm B bán kính 3 cm.

Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N.

Bước 3. Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng MN. Khi đó MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài tập

Bài 4.23: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Lời giải:

Bài 4.24: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Lời giải:

Xét 2 tam giác AMC và AMB có:

AM chung

AB=AC (do tam giác ABC cân tại A)

MB=MC (gt)

=> ΔAMB=ΔAMC(c.c.c)

Bài 4.25: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a)

Do M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do $AM\perp BC$ nên tam giác AMB vuông tại M, tam giác AMC vuông tại M.

Xét hai tam giác AMB vuông tại M và AMC vuông tại M có:

AM chung.

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó $\Delta AMB=\Delta AMC$ (2 cạnh góc vuông).

Khi đó AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

b)

Do AM là tia phân giác của ${\mathrm{BAC^\backslash widehat\{BAC\}BAC}}^{}$ nên ${\mathrm{BAM^\backslash widehat\{BAM\}BAM}}^{}={\mathrm{CAM^\backslash widehat\{CAM\}CAM}}^{}.$

Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA.

Xét hai tam giác AMC và IMB có:

AM = IM (theo giả thiết).

${\mathrm{BAM^\backslash widehat\{BAM\}AMC}}^{}={\mathrm{BAM^\backslash widehat\{BAM\}IMB}}^{}$ (hai góc đối đỉnh).

MC = MB (theo giả thiết).

Do đó $\Delta AMC=\Delta IMB$ (c – g – c).

Khi đó ${\mathrm{CAM^\backslash widehat\{CAM\}CAM}}^{}={\mathrm{BAM^\backslash widehat\{BAM\}BIM}}^{}$ (2 góc tương ứng) và AC = BI (2 cạnh tương ứng).

Mà $\widehat{BAM}={\mathrm{CAM^\backslash widehat\{CAM\}CAM}}^{}$ nên ${\mathrm{BAM^\backslash widehat\{BAM\}BAM}}^{}={\mathrm{BAM^\backslash widehat\{BAM\}BIM}}^{}$ hay ${\mathrm{BAM^\backslash widehat\{BAM\}BAI}}^{}={\mathrm{BAM^\backslash widehat\{BAM\}BIA}}^{}.$

Tam giác BIA có ${\mathrm{BAM^\backslash widehat\{BAM\}BAI}}^{}={\mathrm{BAM^\backslash widehat\{BAM\}BIA}}^{}$ nên tam giác BIA cân tại B hay BI = BA.

Mà BI = AC nên AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 4.26: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45o;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45o là tam giác vuông cân.

Lời giải:

Bài 4.27: Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

Lời giải:

- Vì đường thẳng m vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm của AB nên m là đường trung trực của AB.

Bài 4.28: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lời giải:

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABC}}^{}={\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ACB}}^{}$ hay ${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABD}}^{}=ABC^\backslash widehat\{ABC\}ACD.$

Do AD là đường cao của tam giác ABC hay AD ⊥ BC tại D nên tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Xét hai tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D có:

AB = AC (chứng minh trên).

${\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ABD}}^{}={\mathrm{ABC^\backslash widehat\{ABC\}ACD}}^{}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D}$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Khi đó BD = CD (2 cạnh tương ứng) hay D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Do AD vuông góc với BC tại trung điểm của BC nên AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.