Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Mở đầu: Quan sát hai chiếc cột dựng thẳng đứng, cạnh nhau và cao bằng nhau. Vì Mặt Trời ở rất xa Trái Đất, nên vào buổi chiều các tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột các góc xem như bằng nhau.

Bạn Vuông: Tớ thấy bóng hai chiếc cột dài bằng nhau, vì sao vậy nhỉ?

Bạn Tròn: Đấy là do hai chiếc cột cao bằng nhau đấy!

Lí do mà bạn Tròn đưa ra như vậy có đúng không? Qua bài học này, các em sẽ có câu trả lời cho câu hỏi trên.

Lời giải:

Ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác vuông này cũng bằng nhau. 

Gọi hai tam giác vuông này lần lượt là ABC (vuông tại A) và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (vuông tại $A^{\prime }$) trong đó AB và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ lần lượt là hai chiếc cột, góc B và góc $B^{\prime }$ là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với hai cột.

Khi đó ta có $AB=A^{\prime }{B}^{\prime },\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}.$

Xét hai tam giác ABC và A'B'C' có:

${\mathrm{ABC^ABC}}^{}={{\mathrm{A\prime B\prime C^A\prime B\prime C}}^{}}^{}$ (theo giả thiết).

$AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ (theo giả thiết).

$BAC^BAC\; ={{}^{}}^{}$ (cùng bằng 90o).

Do đó $\Delta ABC=\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (g – c – g).

Khi đó $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }$ (2 cạnh tương ứng) hay bóng của hai chiếc cột bằng nhau.

Vậy bạn Tròn nói đúng.

1. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Hoạt động 1: Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (vuông tại đỉnh $A^{\prime }$) có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau: $AB=A^{\prime }{B}^{\prime },AC=A^{\prime }{C}^{\prime }$ (H.4.45).

Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng nhau.

Lời giải:

Hoạt động 2: Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (vuông tại đỉnh $A^{\prime }$) có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau: $AB=A^{\prime }{B}^{\prime },\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$ (H.4.46).

Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng nhau.

Lời giải:

Xét 2 tam giác ABC và A'B'C' có:

• Bˆ = B′ˆ
• AB=A’B’
• Aˆ = A′ˆ

⇒ ΔABC = ΔA’B’C' (g.c.g)

Luyện tập 1: Quay trở lại tình huống mở đầu, ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác này cũng bằng nhau. Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra có đúng không?

Lời giải:

Gọi hai tam giác vuông này lần lượt là ABC (vuông tại A) và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (vuông tại $A^{\prime }$) trong đó AB và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ lần lượt là hai chiếc cột, góc B và góc $B^{\prime }$ là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với hai cột.

Khi đó ta có $AB=A^{\prime }{B}^{\prime },\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}.$

Xét hai tam giác ABC và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có:

${\mathrm{ABC^ABC}}^{}={{\mathrm{A\prime B\prime C^A\prime B\prime C}}^{}}^{}$ (theo giả thiết).

$AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ (theo giả thiết).

${\mathrm{BAC^BAC}}^{}={{\mathrm{B\prime A\prime C^B\prime A\prime C}}^{}}^{}$ (cùng bằng 90o).

Do đó $\Delta ABC=\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (g – c – g).

Khi đó $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }$ (2 cạnh tương ứng) hay bóng của hai chiếc cột bằng nhau.

Vậy bạn Tròn nói đúng.

Hoạt động 3: Hình 4.47 mô phỏng chiều dài và độ dốc của hai con dốc bởi các đường thẳng BC, $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và các góc B, $B^{\prime }.$ Khi đó AC, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ mô tả độ cao của hai con dốc

a) Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng nhau.

b) So sánh độ cao của hai con dốc.

Lời giải:

Câu hỏi: Trong Hình 4.48, hãy tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Lời giải:

Xét hai tam giác ABC vuông tại A và XYZ vuông tại X có:

${\mathrm{ACB^ACB}}^{}={\mathrm{ACB^XZY}}^{}$ (theo giả thiết).

AC = XZ (theo giả thiết).

Do đó $\Delta ABC=\Delta XYZ$ (cạnh góc vuông và góc nhọn kề nó).

Xét hai tam giác DEF vuông tại D và GHK vuông tại G có:

${\mathrm{ACB^DEF}}^{}={\mathrm{ACB^GKH}}^{}$ (theo giả thiết).

EF = HK (theo giả thiết).

Do đó $\Delta D\text{EF}=\Delta GHK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Xét hai tam giác MNP vuông tại M và RTS vuông tại R có:

MN = RT (theo giả thiết).

MP = RS (theo giả thiết).

Do đó $\Delta MNP=\Delta RT\text{S}$ (2 cạnh góc vuông).

Vậy $\Delta ABC=\Delta XYZ,\Delta D\text{EF}=\Delta GHK,\Delta MNP=\Delta RT\text{S}.$

Luyện tập 2: Cho Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm M trên tia Oz và hai điểm A, B lần lượt trên các tia Ox, Oy sao cho MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy (H.4.50). Chứng minh rằng MA = MB.

Lời giải:

2. Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

Hoạt động 4: Vẽ tam giác vuông ABC có $\hat{A}=90°,$ AB = 3 cm, BC = 5 cm theo các bước sau:

- Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

- Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5 cm như Hình 4.51.

Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.

- Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.

Lời giải:

Ta thực hiện vẽ theo các bước như sau:

Bước 1. Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

Bước 2. Vẽ tia Ax vuông góc với AB tại A.

Bước 3. Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5 cm. Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.

Nối BC ta được tam giác ABC.

$\widehat{ACB}$${\mathrm{Hoạt\; động\; 5:\; A}}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $\hat{A}=90°,$ $A^{\prime }{B}^{\prime }=3cm,B^{\prime }{C}^{\prime }=5cm.$

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem AC có bằng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không? 

b) Hai tam giác ABC và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có bằng nhau không?

Lời giải:

a. Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra được AC = A'C'

b. Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau vì 3 cặp cạnh đều bằng nhau

Câu hỏi: Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau dưới đây.

Lời giải:

Luyện tập 3: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O và các điểm M, N, P như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình.

Lời giải:

Do A, B, C nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB = OC.

Xét hai tam giác ONA vuông tại N và ONC vuông tại N có:

OA = OC (chứng minh trên).

ON chung.

Do đó $\Delta ON\text{A}=\Delta ONC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác OMB vuông tại M và OMC vuông tại M có:

OB = OC (chứng minh trên).

OM chung.

Do đó $\Delta OMB=\Delta OMC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Xét hai tam giác OPA vuông tại P và OPB vuông tại P có:

OA = OB (chứng minh trên).

OP chung.

Do đó $\Delta OPA=\Delta OPB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Vậy $\Delta ON\text{A}=\Delta ONC,\Delta OMB=\Delta OMC,\Delta OPA=\Delta OPB.$

Thử thách nhỏ: Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao $BH=B^{\prime }{H}^{\prime }$ như Hình 4.55. Các góc BAH và $B^{\prime }{A}^{\prime }{H}^{\prime }$ có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Bài tập

Bài 4.20: Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Lời giải:

Bài 4.21: Cho Hình 4.56, biết AB = CD, ${\mathrm{BAC^BAC}}^{}={\mathrm{BDC^BDC}}^{}=90°.$ Chứng minh rằng $\Delta ABE=\Delta DCE.$

Lời giải:

Xét tam giác ABE có ${\mathrm{BAE^BAE}}^{}+{\mathrm{ABE^ABE}}^{}+{\mathrm{AEB^AEB}}^{}=180°.$

Do đó ${\mathrm{ABE^ABE}}^{}=180°-{\mathrm{BAE^BAE}}^{}-{\mathrm{AEB^AEB}}^{}$ (1).

Xét tam giác DCE có ${\mathrm{CDE^CDE}}^{}+{\mathrm{DCE^DCE}}^{}+{\text{DCE^DEC}}^{}=180°.$

Do đó ${\mathrm{DCE^DCE}}^{}=180°-{\mathrm{CDE^CDE}}^{}-{\mathrm{THAˊNG12^DEC}}^{}$ (2).

Mà ${\mathrm{BAE^BAE}}^{}={\mathrm{CDE^CDE}}^{}=90°,{\mathrm{AEB^AEB}}^{}={\mathrm{DCE^DEC}}^{}$ (2 góc đối đỉnh) nên từ (1) và (2) có ${\mathrm{ABE^ABE}}^{}={\mathrm{DCE^DCE}}^{}.$

Xét hai tam giác ABE vuông tại A và DCE vuông tại E có:

${\mathrm{ABE^ABE}}^{}=$$\widehat{DCE}$ (chứng minh trên).

AB = DC (theo giả thiết).

Vậy $\Delta ABE=\Delta DCE$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Bài 4.22: Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.

Chứng minh rằng $\Delta ABM=\Delta DCM.$

Lời giải:

Xét 2 tam giác vuông ABM và DCM có:

AB=DC (tính chất hình chữ nhật)

BM=CM (gt)

=>ΔABM=ΔDCM(c.g.c)